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| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3 \le 2*n^4 [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Beweise mit volltändiger Induktion:
[mm] \summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3 \le 2*n^4
[/mm]
Also ich habe den Induktionsanfang gemacht und für n gleich 1 gewählt und:
[mm] 1^3 \le 2^4
[/mm]
Dann nehme ich an das die Formel für n gilt und auch für n+1
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (2*k-1)^3 \le 2*(n+1)^4
[/mm]
Soll ich die Summe aufspalten?
[mm] \summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3 [/mm] + [mm] (2*k-1)^3 \le 2*(n+1)^4
[/mm]
Ist das überhaupt der richtige Ansatz?
Kann ich jetzt die Summe durch [mm] 2*n^4 [/mm] ersetzen?
Danke für irgendeine Hilfe.
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> Beweise mit volltändiger Induktion:
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3 \le 2*n^4[/mm]
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
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> Also ich habe den Induktionsanfang gemacht und für n gleich
> 1 gewählt und:
>
> [mm]1^3 \le 2^4[/mm]
Richtig.
>
> Dann nehme ich an das die Formel für n gilt
daß also [mm] \summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3 \le 2*n^4
[/mm]
richtig ist für alle n.
Unter dieser Voraussetzung ist zu zeigen, daß die Behauptung auch für
> n+1
gilt, daß also
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> [mm]\summe_{i=1}^{n+1} (2*k-1)^3 \le 2*(n+1)^4[/mm]
gilt.
>
> Soll ich die Summe aufspalten?
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3[/mm] + [mm](2*k-1)^3 \le 2*(n+1)^4[/mm]
Ja, aber so:
[mm]\summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3[/mm] + [mm](2*(n+1)-1)^3 \le 2*(n+1)^4[/mm]
>
> Ist das überhaupt der richtige Ansatz?
> Kann ich jetzt die Summe durch [mm]2*n^4[/mm] ersetzen?
Du bist auf einem guten Weg.
Es ist
[mm] \summe_{i=1}^{n+1} (2*k-1)^3
[/mm]
[mm] =\summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3[ [/mm] + [mm] (2*(n+1)-1)^3,
[/mm]
und jetzt kommt, wie Du bereits schreibst, die Induktionsvoraussetzung ins Spiel. Du verwendest nun [mm] \summe_{i=1}^{n} (2*k-1)^3 \le 2*n^4 [/mm] und kannst oben wie folgt abschätzen
[mm] ...\le 2*n^4+(2*(n+1)-1)^3=2*n^4+(2n+1)^3
[/mm]
Das mußt Du nun noch irgendwie so zurechtbiegen, daß am Ende [mm] ...\le 2*(n+1)^4 [/mm] dasteht.
Gruß v. Angela
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| Aufgabe | Du meinst ich benutze die Tatsache dass bei Ungleichungen gilt :
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a [mm] \le [/mm] b (x>0) [mm] \to [/mm] a+x [mm] \to [/mm] b+x
ausgeschrieben:$ [mm] \summe_{k=1}^{n} (2\cdot{}k-1)^3 [/mm] + [mm] (2\cdot{}n+1)^3 \le 2\cdot{}n^4 [/mm] $ + [mm] (2\cdot{}n+1)^3
[/mm]
Und dann den rechten Teil auswurschteln bis 2*(n+1) rauskommt, oder nicht?
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> Du meinst ich benutze die Tatsache dass bei Ungleichungen
> gilt :
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> a [mm]\le[/mm] b (x>0) [mm]\to[/mm] a+x [mm]\to[/mm] b+x
>
> ausgeschrieben:[mm] \summe_{k=1}^{n} (2\cdot{}k-1)^3 + (2\cdot{}n+1)^3 \le 2\cdot{}n^4[/mm]
> + [mm](2\cdot{}n+1)^3[/mm]
>
> Und dann den rechten Teil auswurschteln bis 2*(n+1)
> rauskommt, oder nicht?
Hallo,
genau.
[mm] (2*(n+1)^4 [/mm] soll natürlich rauskommen.)
Gruß v. Angela
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