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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:02 Mi 19.09.2007 | | Autor: | tobi- |
| Aufgabe | Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
[mm]\forall n \in \IN: \summe_{k=1}^{n} k^2 = \bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1)[/mm] |
Hi erstmal ;)
Mein Lösungsansatz bisher ist:
Induktionsverankerung:
[mm]n_{0} = 1[/mm], es gilt: [mm]\summe_{k=1}^{1} k^2 = 1 = \bruch{1}{6}\cdot1\cdot(1+1)(2\cdot1+1)[/mm]
Induktionsannahme:
[mm]
\summe_{k=1}^{n+1} k^2 = \summe_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2
[/mm]
Hier komm ich dann nicht weiter. Ich weiß, dass ich [mm]\bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2[/mm] zu [mm]\bruch{1}{6} (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)[/mm] umformen muss, allerdings komm ich nach diesem Schritt schon nicht mehr weiter:
[mm]
\bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 = (n+1)(\bruch{1}{6}n(2n+1)+(n+1))
[/mm]
Das ist meine erste Aufgabe von diesem Typ, deswegen würde ich gerne wissen, ob mein Ansatz überhaupt stimmt, und falls ja, wie ich weiter vorgehen sollte.
Vielen Dank schon mal im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo tobi,
> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
> [mm]\forall n \in \IN: \summe_{k=1}^{n} k^2 = \bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1)[/mm]
>
> Hi erstmal ;)
> Mein Lösungsansatz bisher ist:
>
> [mm] Induktions\red{anfang}:
[/mm]
> [mm]n_{0} = 1[/mm], es gilt: [mm]\summe_{k=1}^{1} k^2 = 1 = \bruch{1}{6}\cdot1\cdot(1+1)(2\cdot1+1)[/mm]
>
> Induktionsannahme:
> [mm]
\summe_{k=1}^{n+1} k^2 = \summe_{k=1}^{n} k^2 + (n+1)^2 = \bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2
[/mm]
das ist zu "schwammig"
Induktionsvoraussetzung/-annahme: Für [mm] $n\in\IN$ [/mm] gelte [mm] $\sum\limits_{k=1}^nk^2=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)$
[/mm]
Dann der eigentliche Induktionsschritt, wie du ihn auch machst..
> Hier komm ich dann nicht weiter. Ich weiß, dass ich
> [mm]\bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2[/mm] zu [mm]\bruch{1}{6} (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)[/mm]
> umformen muss ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") , allerdings komm ich nach diesem Schritt
> schon nicht mehr weiter:
> [mm]
\bruch{1}{6} n(n+1)(2n+1) + (n+1)^2 = (n+1)(\bruch{1}{6}n(2n+1)+(n+1))
[/mm]
ok, [mm] $\sum\limits_{k=1}^{n+1}k^2=\sum\limits_{k=1}^nk^2+(n+1)^2\underbrace{=}_{\text{Ind.vor}}=\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1)+(n+1)^2=(n+1)\left[\frac{1}{6}n(2n+1)+(n+1)\right]$
[/mm]
Bis hierher alles top.
Erstmal die [mm] \frac{1}{6} [/mm] noch rausziehen..
[mm] $=\frac{1}{6}(n+1)\left[n(2n+1)+6(n+1)\right]$
[/mm]
Nun würde ich mal den Senf in der Klammer ausmultiplizieren...
[mm] $=\frac{1}{6}(n+1)\left[2n^2+7n+6\right]$
[/mm]
Nun das Quadrat in der Klammer faktorisieren (Nullstellen finden...)
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 19.09.2007 | | Autor: | tobi- |
Danke für die schnelle Antwort, aber ich steh immer noch ein wenig auf dem Schlauch. Das Nullstellen-Finden ist ja noch kein Problem (-2; [mm] -\bruch{3}{2}), [/mm] aber wie komm ich damit weiter zu [mm]\bruch{1}{6} (n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)[/mm]?
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Hi nochmal,
die NST stimmen, ich forme mal vom letzten Schritt an weiter um:
[mm] $\frac{1}{6}(n+1)(2n^2+7n+6)=\frac{1}{6}(n+1)\left[2\left(n^2+\frac{7}{2}n+3\right)\right]=\frac{1}{6}(n+1)\cdot{}2\left(n+\frac{3}{2}\right)\left(n+2\right)=\frac{1}{6}(n+1)(2n+3)(n+2)$
[/mm]
Noch ein bissl schön sortieren und feddich 
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:40 Mi 19.09.2007 | | Autor: | tobi- |
Danke, jetzt hat es endlich "klick" gemacht.
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