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| Aufgabe |
[mm] \summe_{k=0}^{n} \frac{2^{k+1}}{1+x^{2^{k+1}}}=\frac{1}{x-1}+\frac{2^{n+2}}{1-x^{2^{n+2}}}
[/mm]
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Ich muss beweisen, dass diese 2 Terme gleich sind.. nur leider stosse ich dabei etwas an meine Grenzen... Irgendwie komm ich ohne Riesenrechnerei nicht drauf- hat mir jemand einen Tipp?
Danke im Voraus
lg
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:10 Di 19.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommst du auf diese Formel. soweit ich das sehe ist sie schon für n=0 falsch.
ausserdem steht links was, was bei x=1 definiert ist, rechts ist für x=1 nicht definiert.
Gruss leduart
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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=0}^{n} (2^k/(1+x^{2^k})= [/mm] 1/(x-1) + 2^(n+1)/(1-x^(2^(n+1))) |
Das obige ist meine Aufgabenstellung, wenn man n=0 einsetzt ergibt das auf beiden seiten 1/(1+x)- die Verankerung ist also richtig.
Die Formel in meinem 1.Beitrag ist dann diejenige für den Induktionsschritt von n auf n+1 und genau da blieb ich hängen...
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Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo sunshine,
der Induktionsschritt ist gar nicht so wild, es ist nur etwas unübersichtlich wegen der vielen Potenzen 
Induktionsvor.: $\blue{\sum\limits_{k=0}^n\frac{2^k}{1+x^{2^k}}=\frac{1}{x-1}+\frac{2^{n+1}}{1-x^{2^{n+1}}}}$ für ein $n\in\IN$
Dann ist $\sum\limits_{k=0}^{n+1}\frac{2^k}{1+x^{2^k}}=\left(\blue{\sum\limits_{k=0}^n\frac{2^k}{1+x^{2^k}}}\right)+\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}=\blue{\frac{1}{x-1}+\frac{2^{n+1}}{1-x^{2^{n+1}}}}+\frac{2^{n+1}}{1+x^{2^{n+1}}}$
nach Induktionsvor.
$=\frac{1}{x-1}+\left(2^{n+1}}\right)\cdot{}\left(\frac{1}{1-x^{2^{n+1}}}+\frac{1}{1+x^{2^{n+1}}}\right)$
Nun die hintere Klammer gleichnamig machen, beachte, dass du im Nenner die 3. binom. Formel bekommst !!
$=\frac{1}{x-1}+\left(2^{n+1}}\right)\cdot{}\left(\frac{1+x^{2^{n+1}}+1-x^{2^{n+1}}}{1-\left(x^{2^{n+1}}\right)^2}\right)$
$=\frac{1}{x-1}+\left(2^{n+1}}\right)\cdot{}\left(\frac{2}{1-x^{2\cdot{}\left(2^{n+1}\right)}}\right)$
$=\frac{1}{x-1}+\frac{2^{n+2}}{1-x^{2^{n+2}}}\right)$
Was zu zeigen war
LG
schachuzipus
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:10 Mi 20.02.2008 | | Autor: | sunshine_ |
vielen dank!!
nun hab'ich den überblick wieder =)
lg
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