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Hallo.
Ich habe leider ein kleines Problem mit dem Induktionsbeweis bei der Vollstänigen Induktion. Ich habe dazu nun leider kein Beispiel. Allerdings habe ich generell zu jeder Aufgabe Probleme damit. Wie muss ich hierbei vorgehen???
MFG domenigge135
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Also gut. Ich habe mich jetzt durch etliche Links und Seiten durchgeklickt, welche das Thema vollständige Induktion beinhalten. Hauptsächlich ist mir folgende Seite dabei ins Auge gesprungen http://sites.inka.de/picasso/Metzger/vollind.htm#Inhalt
Wie in anderen Seiten stand, ist der I- Beweis sehr Tricky, weshalb ich beim I-Anfang, bei der I- Voraussetzung und bei der I- Behauptung auch nie Probleme habe. Das mit den Beweisen bezieht sich in der Regel auch immer nur auf die Unterschieldichen Aufgaben. z.B. weiß ich ja nun, wie ich die vollständige Induktion auf normale Gleichungen anwenden kann wie z.B. auch in dem Link mit der Aufgabe:
[mm] 1+4+7+10+...+(3n-2)=\bruch{1}{2}n(3n-1)
[/mm]
wobei es sich hierbei ja eigentlich um eine Summenformel handelt. Ich kann also auch schreiben:
[mm] \summe_{n=1}^{n}(3n-2)=\bruch{1}{2}n(3n-1)
[/mm]
Allerdings weiß ich leider nicht, wie ich das, was ich jetzt aus dem Link gelernt habe erfolgreich anwenden kann, wenn dort jetzt ein Summenzeichen vor der Gleichung steht.
Ich probier es einfach mal selber.
I- Anfang für n=1: [mm] (3*1-2)=\bruch{1}{2}*1(3*1-1) \Rightarrow [/mm] 1=1
I- Voraussetzung für [mm] n\ge1: \summe_{n=1}^{n}(3n-2)=\bruch{1}{2}n(3n-1)
[/mm]
I- Behauptung für n+1: [mm] \summe_{n=1}^{n+1}(3n-2)+(3(n+1)-2)=\bruch{1}{2}(n+1)(3(n+1)-1) \gdw \summe_{n=1}^{n+1}(3n-2)+(3n+1)=\bruch{1}{2}(n+1)(3n+2)
[/mm]
I- Beweis: [mm] \summe_{n=1}^{n+1}(3n-2)+(3n+1)=\bruch{1}{2}n(3n-1)+(3n+1)
[/mm]
[mm] =\bruch{3n^2}{2}-\bruch{1n}{2}+3n+1
[/mm]
[mm] =\bruch{3n^2}{2}+\bruch{5n}{2}+1
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(3n^2+5n+2)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2}(n+1)(3n+2)
[/mm]
was zu beweisen war. Also scheint das auch bei Summen aufzugehen. wenn ich das so anwenden darf???
MFG domenigge135
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Hallo domenigge,
> Also gut. Ich habe mich jetzt durch etliche Links und
> Seiten durchgeklickt, welche das Thema vollständige
> Induktion beinhalten. Hauptsächlich ist mir folgende Seite
> dabei ins Auge gesprungen
> http://sites.inka.de/picasso/Metzger/vollind.htm#Inhalt
>
> Wie in anderen Seiten stand, ist der I- Beweis sehr Tricky,
> weshalb ich beim I-Anfang, bei der I- Voraussetzung und bei
> der I- Behauptung auch nie Probleme habe. Das mit den
> Beweisen bezieht sich in der Regel auch immer nur auf die
> Unterschieldichen Aufgaben. z.B. weiß ich ja nun, wie ich
> die vollständige Induktion auf normale Gleichungen anwenden
> kann wie z.B. auch in dem Link mit der Aufgabe:
> [mm]1+4+7+10+...+(3n-2)=\bruch{1}{2}n(3n-1)[/mm]
> wobei es sich hierbei ja eigentlich um eine Summenformel
> handelt. Ich kann also auch schreiben:
> [mm] $\summe\limits_{\red{i}=1}^{n}(3\red{i}-2)=\bruch{1}{2}n(3n-1)$
[/mm]
Hier und im weiteren aufpassen mit dem Laufindex, der ist nur ne Hilfsvariable zB. i, aber nicht n, n ist deine obere Grenze
> Allerdings weiß ich leider nicht, wie ich das, was ich
> jetzt aus dem Link gelernt habe erfolgreich anwenden kann,
> wenn dort jetzt ein Summenzeichen vor der Gleichung steht.
> Ich probier es einfach mal selber.
>
> I- Anfang für n=1: [mm](3*1-2)=\bruch{1}{2}*1(3*1-1) \Rightarrow[/mm]
> 1=1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Ganz formal geschrieben ist zu zeigen: [mm] $\sum\limits_{i=1}^1(3i-2)=\frac{1}{2}\cdot{}1\cdot{}(3\cdot{}1-1)$
[/mm]
>
> I- Voraussetzung für [mm]n\ge1: \summe_{\red{i}=1}^{n}(3\red{i}-2)=\bruch{1}{2}n(3n-1)[/mm]
Also ist die I-Vor. in Worten: "Gelte die Beh. für ein beliebiges, aber festes [mm] $n\ge [/mm] 1$
>
> I- Behauptung für n+1:
> [mm] $\summe\limits_{\red{i}=1}^{n+1}(3\red{i}-2)+(3(n+1)-2)=\bruch{1}{2}(n+1)(3(n+1)-1)$
[/mm]
Das ist verwurstelt, da hast du was dazugemogelt, die Indbeh. ist doch, dass die Beh. auch für n+1 gilt, dass also
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n+1}(3i-2)=\frac{1}{2}(n+1)(3(n+1)-1)$ [/mm] ist
Diese Gleichheit ist zu zeigen (unter Ann. der I-Vor)
> [mm] \gdw \summe_{n=1}^{n+1}(3n-2)+(3n+1)=\bruch{1}{2}(n+1)(3n+2)
[/mm]
>
> I- Beweis:
> [mm]\summe_{n=1}^{n+1}(3n-2)+(3n+1)=\bruch{1}{2}n(3n-1)+(3n+1)[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Nein, hier steht Murks, nimm dir die linke Seite der zu zeigenden Induktionsbehauptung her und forme sie so um, dass du die Induktionsvoraussetzung einbauen kannst und damit schließlich die rechte Seite der Induktionsbeh. hinbasteln kannst, also:
[mm] $\sum\limits_{i=1}^{n+1}(3i-2)=\left(\sum\limits_{i=1}^n(3i-2)\right)+(3(n+1)-2)$
[/mm]
Da habe ich den letzten Summanden, also den für i=n+1 separat hintendrangeschrieben und die Summe dementsprechend nur bis n laufen lassen.
Darauf kannst du nun die Induktionsvoraussetzung anwenden, wir hatten ja angenommen, dass die Summe bis n, also [mm] $\sum\limits_{i=1}^n(3i-2)=\frac{1}{2}n(3n-1)$ [/mm] sei
Also: [mm] $\left(\sum\limits_{i=1}^n(3i-2)\right)+(3(n+1)-2)\overset{IVor}{=}\frac{1}{2}n(3n-1)+3(n+1)-2$
[/mm]
Das nun weiter vereinfachen bis die rechte Seite der Indbeh. dasteht ..
> [mm]=\bruch{3n^2}{2}-\bruch{1n}{2}+3n+1[/mm]
> [mm]=\bruch{3n^2}{2}+\bruch{5n}{2}+1[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}(3n^2+5n+2)[/mm]
> [mm]=\bruch{1}{2}(n+1)(3n+2)[/mm]
> was zu beweisen war. Also scheint das auch bei Summen
> aufzugehen. wenn ich das so anwenden darf???
>
> MFG domenigge135
LG
schachuzipus
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Genau dort ist mein Problem. Ich sehe dort nie so richtig ein System beim Beweis. So habe ich z.B. keinerlei Ahnung wie ich dann wiedrum sachen wie z.B.
gegeben sei die Funtion f: [mm] \IR [/mm] \ {-1} [mm] \to \IR, f(x)=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
zeigen sie mit vollständiger Induktion, dass für die n-te Ableitung von f gilt:
[mm] f^{n}(x)=\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}, [/mm] n [mm] \in \IN, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1
Wie schon gesagt, gibt es keinerlei Probleme bis hin zur I- Behauptung:
I-Anfang für n=1: [mm] f^{1}(x)=\bruch{1}{(1-x)^{2}} [/mm] und das stimmt, sofern man f(x) mit der Quotientenregel ableitet überein. Also erfüllt
I-Voraussetzung für n [mm] \ge [/mm] 1: [mm] f^{n}(x)=\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}
[/mm]
I-Behauptung für n+1: [mm] f^{n+1}(x)=\bruch{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}
[/mm]
Mit dem Beweis bin ich nun völlig überfordert oder ich stell mich einfach zu blöd an.
Kann ich mir auch hier wieder die linke Seite der zu zeigenden Induktionsbehauptung hernehmen und so umformen, dass ich die Induktionsvoraussetzung einbauen kann und damit schließlich die rechte Seite der Induktionsbeh. hinbasteln kann??? Oder gibt es hier wieder ein anderes System für???
MFG domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:54 Do 14.08.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Es gilt hier:
[mm] f^{(n+1)}=\left(f^{(n)}\right)'
[/mm]
Also:
[mm] f^{(n+1)}=\left(\green{f^{(n)}}\right)'=\left(\green{\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}}\right)'=...(Quotientenregel)
[/mm]
Marius
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Alles klar. Aber wie muss ich hierbei mit der Fakultät hantieren???
MFG domenigge135
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Hallo nochmal,
du leitest nach x ab, also kannst du die Fakultät im Zähler wie eine Konstante behandeln, denk' dir, dort stünde eine 5 oder so ...
Nun mal ran an die Ableitung 
LG
schachuzipus
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Also gut...
nach Quotientenregel müsste das dann ergeben: [mm] \bruch{-n!(-(n+1)(1-x)^{n})}{((1-x)^{n+1})^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{n!(n+1)(1-x)^{n}}{(1-x)^{2n+2}}=\bruch{n!(n+1)}{(1-x)^{n+2}}
[/mm]
MFG domenigge135
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Hallo Dom,
das sieht sehr gut aus, du hast lediglich im letzten Nenner die Klammer unterschlagen...
> Also gut...
>
> nach Quotientenregel müsste das dann ergeben:
> [mm]\bruch{-n!(-(n+1)(1-x)^{n})}{((1-x)^{n+1})^{2}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n!(n+1)(1-x)^{n}}{(1-x)^{2n+2}}=\bruch{n!(n+1)}{\red{(}1-x\red{)}^{n+2}}[/mm]
>
> MFG domenigge135
Was ist nun [mm] $n!\cdot{}(n+1)$?
[/mm]
Schreibe das nochmal hin, dann sieht's doch verdammt nach der rechten Seite der I-Beh. aus, oder?
Also war's im Prinzip dasselbe Schema wie in der Aufgabe davor, oder?
LG
schachuzipus
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Ja hast recht das ist dann genau die I- Beh., sofern n!(n+1)=(n+1)!...
Ja soweit ist das das selbe. Ich muss halt immer meine linke Seite der zu zeigenden Induktionsbehauptung geschickt umformen um die Induktionsvoraussetzung einbauen zu können. Um damit dann die rechte Seite meiner Induktionsbehauptung beweisen zu können.
Das entscheidende und komplizierte (zumindest für mich) ist ja dabei im Prinzip die Umformung der linken Seite.
Kann man irgendwie erkennen, wie man die linke Seite umstellen sollte (vielleicht aus der Aufgabenstellung heraus oder aus meinem I- Anfang oder meiner I- Voraussetzung) oder ist das reinste Übung???
mfg domenigge135
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:08 Do 14.08.2008 | | Autor: | Zottel |
Naja, ne Patentregel gibt es da nicht 100%ig, aber 2 Tipps fallen mir da ein.
1. Du weißt ja, dass [mm] \summe_{i=1}^{n+1}i=\summe_{i=1}^{n}i+(n+1)i [/mm] ist, den ersten Teil der Summe hast du ja schon in der IA bewiesen und in der IV steht eigentlich drinn, dass die IA für alle n gelten soll, damit kannst du sofort ersetzen.
2. Bei Brüchen gib ich mal den Tipp, nicht komplett auszumultiplizieren, weil du weißt ja schon, wo du hinwillst. Meistens muss irgendwie gekürzt werden, was dann ziemlich kompliziert werden kann.
Wichtig ist vor allem, was bedeutet der Schrit von n nach n+1? Weiteres Summenglied, weitere Ableitung, o.ä.
Ist dir das klar, weißt du, wie du umformen musst.
Ist immer das gleiche Schema.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 Do 14.08.2008 | | Autor: | Zottel |
Da is dir wohl ein kleiner Fehler unterlaufen, ich weiß allerdings nicht genau wo.
Ich fang mal an, vergleich das mal mit deiner Lösung:
Aufgabe:
[mm] f^{n}(x)=\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}} [/mm] mit [mm] f(x)=\bruch{1}{1-x}
[/mm]
1. IA: Zeige, dass es für n=1 gilt
[mm] f^{1}(x)= (-1)\*-\bruch{1}{(1-x)^{2}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{(1-x)^{2}}= \bruch{n!}{(1-x)^{n+1}}
[/mm]
2. IV: Nimm die IA an und überlege, was du beweisen musst
n [mm] \to [/mm] n+1
[mm] f^{n+1}(x)=\bruch{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}
[/mm]
3. IB: Beweis der IV
[mm] f^{n+1}(x)=(f^{n}(x))^{'}
[/mm]
= [mm] (\bruch{n!}{(1-x)^{n+1}})^{'}
[/mm]
= [mm] \bruch{-n!((1-x)^{n+1}}{((1-x)^{n+1})^{2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{-n!(n+1)(1-x)^{n}(-1)}{(1-x)^{n}(1-x){n+2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{n!(n+1)}{(1-x)^{n+2}}
[/mm]
= [mm] \bruch{(n+1)!}{(1-x)^{n+2}}
[/mm]
q.e.d
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:33 Do 14.08.2008 | | Autor: | Zottel |
Sorry, ich hab in der drittletzten Zeile die {} für die Hochzahl vergessen.
Und dank meinem Vorredner weiß ich nun auch, was falsch gelaufen is.
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