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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:09 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Misole |
| Aufgabe | Beweisen oder widerlegen Sie (benutzen Sie gegebenfalls vollständige Induktion):Für alle natürlichen Zahlen n gilt:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{5n²-9n+5}{n(n+1)} [/mm] |
Hallo,
ich hab an einer Stelle Schwierigkeiten,schreibe erst mal auf was ich bis jetzt habe:
Induktionsanfang
n=1
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{5*1²-9*1+5}{1(1+1)}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}
[/mm]
Die Aussage ist wahr.
Induktionsvorraussetzung
Es gilt [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1} [/mm] = [mm] \bruch{5n²-9n+5}{n(n+1)}
[/mm]
Induktionsschluss
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{k+1} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1} [/mm] +n+1
[mm] =\bruch{5n²-9n+5}{n(n+1)}+n+1
[/mm]
So hier weiß ich irgendwie nicht weiter. Ich hab vergessen was ich jetz da mit den (n+1) mache.
Vielleicht kann mir da wer helfen.
Danke im Voraus.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Beweisen oder widerlegen Sie (benutzen Sie gegebenfalls
> vollständige Induktion):Für alle natürlichen Zahlen n
> gilt:
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{5n²-9n+5}{n(n+1)}[/mm]
> Hallo,
Hey
> ich hab an einer Stelle Schwierigkeiten,schreibe erst mal
> auf was ich bis jetzt habe:
> Induktionsanfang
> n=1
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{5*1²-9*1+5}{1(1+1)}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}=\bruch{1}{2}[/mm]
> Die Aussage ist wahr.
>
> Induktionsvorraussetzung
> Es gilt [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1}[/mm] =
> [mm]\bruch{5n²-9n+5}{n(n+1)}[/mm]
>
> Induktionsschluss
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{k+1}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1}[/mm]
> +n+1
>
Das stimmt nicht!! Du musst ja den (n+1).-Summanden extra hinten dran schreiben. Dieser lautet aber doch: [mm] \frac{n+1}{n+1+1}
[/mm]
> [mm]=\bruch{5n²-9n+5}{n(n+1)}+n+1[/mm]
>
> So hier weiß ich irgendwie nicht weiter. Ich hab vergessen
> was ich jetz da mit den (n+1) mache.
> Vielleicht kann mir da wer helfen.
> Danke im Voraus.
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Gruß Patrick
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Hallo,
folgendermaßen gehst du vor:
IV: [mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{k}{k+1}=\bruch{5n^2-9n+5}{n\left(n+1\right)} [/mm]
IA:
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{1+1}=\bruch{5*1^2-9*1+5}{1*\left(1+1\right)} [/mm]
<=> [mm] \bruch{1}{2} = \bruch{1}{2} [/mm]
IS:
Das ist das Ziel, wo du hin musst.
Tipp: Probiers es mal mit einer Polynomdivision
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \bruch{k}{k+1}=\bruch{5\left(n+1\right) ^2-9\left(n+1\right)+5}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)} [/mm]
Schöne Güße
Mathestudent
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