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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:42 Do 21.05.2009 | | Autor: | ganzir |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{n}k!(k^{2}+k+1)=(n+1)!(n+1)-1 [/mm] |
Dies soll ich mit Vollständiger Induktion zeigen: Nachfolgend wie weit ich gekommen bin:
I Induktionsanfang (n=1)
[mm] 1!(1^2+1+1)=(1+1)!(1+1)-1 [/mm]
[mm] \gdw1\cdot3 [/mm] = [mm] 2\cdot2-1
[/mm]
[mm] \gdw3=4-1
[/mm]
[mm] \gdw3=3 [/mm]
II Induktionsschritt [mm] ((n)\Rightarrow [/mm] (n+1))
Es gelte:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k!(k^{2}+k+1)=(n+1)!(n+1)-1
[/mm]
Zu zeigen:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k!(k^{2}+k+1)=(n+2)!(n+2)-1
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k!(k^{2}+k+1) [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n}k!(k^{2}+k+1) [/mm] + [mm] (n+1)!((n+1)^2+n+1+1)
[/mm]
wegen Annahme
= (n+1)!(n+1)-1 + [mm] (n+1)!((n+1)^2+n+1+1)
[/mm]
Dieser Ausdruck soll ja gleich sein mit (n+2)!(n+2)-1
Soweit richtig?
Wenn ja ich sehe nicht was ich nun machen muss, bzw. wie ich umformen muss das am Ende das steht (n+2)!(n+2)-1 = (n+2)!(n+2)-1
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:45 Do 21.05.2009 | | Autor: | Loddar |
Hallo ganzir!
Soweit sieht das ganz gut aus. Schreibe nun die $-1_$ ganz nach rechts und klammere aus dem Rest zunächst $(n+1)!_$ aus.
Fasse anschließend in der großen Klammer zusammen.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:14 Do 21.05.2009 | | Autor: | ganzir |
Danke für den Hinweis, nun sieht es wie folgt aus:
(n+1)!(n+1)-1 + [mm] (n+1)!((n+1)^2+n+1+1) [/mm]
Ich ziehe die -1 ganz nach rechts:
(n+1)!(n+1) + [mm] (n+1)!((n+1)^2+n+1+1) [/mm] -1
Nun klammere ich aus:
(n+1)![(n+1) + [mm] (n+1)^2+n+1+1] [/mm] -1
Nun fasse ich in der großen Klammer zusammen .... zuvor löse ich noch das Binom:
(n+1)![(n+1) [mm] +(n^2+2n+1+n+1+1] [/mm] -1
so nun zusammen fassen:
(n+1)![(n+1) + [mm] n^2+3n+3] [/mm] -1
Noch weiter zusammgen gefasst:
[mm] (n+1)![n^2+4n+4] [/mm] -1
(n+1)![(n+2)(n+2)]-1
Nun ausmultiplizieren ergibt:
(n+2)!(n+2)-1
Hey Hey und da will ja auch hin... danke nochmal .... das mit dem Ausklammer hatte ich schon probiert bevor ich den ersten Post geschrieben habe.... dabei ist mir wohl ein Rechenfehler unterlaufen, weswegen ich dann dachte dieser Weg sei falsch.
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