Vollständige Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo,
bin gerade auf dieses Forum gestossen und habe mal ein bisschen rumgestöbert.
Da ich sehr lange aus dem lernen und Mathe raus bin, suche ich jetzt wieder den
Anfang. Zur Zeit bin ich bei der vollständigen Induktion.
Irgendwie raffe ich die nicht ganz. Mich verwirren auch etwas die Begriffe.
Laut meinem Lehrbuch habe ich die Reihenfolge: Induktionsanfang, Induktionsvoraussetzung
und Induktionsschluss. Wie ist die VI denn mit allen "richtigen" Begriffen den aufgebaut?
Ich kenne nur die drie von mir genannten, da laut Lehrbuch.
Hier finde ich aber nicht die Induktionsvoraussetzung sonder Induktionsschritt.
Ist das das selbe? Wenn ich mir das so anschaue, würde ich sagen ja.
Ich dachte immer, Mathe wäre eindeutig, scheinbar nicht. Oder habe ich was falsch verstanden?
Nun habe ich schon vier Beispiele durchgearbeitet und verstehe es doch noch nicht so ganz.
Die ersten beiden Schritte ist soweit klar (hoffe ich) aber im dritten Schritt, da ist doch
, um es mal einfach zu sagen, nur ein Formel rumgeschiebe und Formelumgestelle. Oder?
Und dabei geht es immer darum, das man in der vorgegebenen Formel n + 1 integrieren muss.
Richtig?
Gibt es ein Beispiel für Vollständige Induktion, die ein "praktisches"/greifbares Beispiel hat?
So mit Schritt-für-Schritt-Anleitung mit Gedankengänge und Überlegungen?
Danke für Infos.
Gruß
Mathi2000
|
|
| |
|
eine Vollständige Induktion brauchst du zum Beweisen von irgendwas.
z.B.:
[mm] 2^0+2^1+2^2+...+2^n= [/mm] 2^(n+1) - 1
Heißt: [mm] 1+2+4+8+.....+2^n [/mm] = 2^(n+1) -1
und das sollst du jetzt durch vollständige Induktion beweisen:
1. Du beweist es gilt für n=1 : [mm] 2^0 [/mm] + [mm] 2^1 [/mm] = 2^(1+1) - 1 (1+2=3) --> gilt!
2. Du nimmst an, es gilt auch für n=k (für alle Zahlen) (Das darfst einfach so)
Das heißt: [mm] 2^0+2^1+2^2+...+2^k [/mm] = 2^(k+1) -1 --> gilt auch!
3. Beweis es gilt auch für n=k+1:
[mm] 2^0+2^1+2^2+...+2^k [/mm] + 2^(k+1) = 2^((k+1)+1) -1
Und das geht so:
Du hast ja gezeigt, dass es für n=k gilt. Also kannst du den ganzen Rattenschwanz aus 2. (das rote) durch das richtige Ergebniss (grün) ersetzten:
2^(k+1) -1 + 2^(k+1) = 2*2^(k+1) -1 (Ist wie x+x -1 = 2x -1, klar?)
= 2^(k+1+1) -1
Und taataaa! Da hast du einen Beweis. ich hoff ich hab's einigermasen verständlich erklärt.
So als Belohnung musst Du (und alle anderen auch) mir viel Glück im Abi nächste Woche wünschen...
Gruß
Hanna
(Ich hoff das mit den Farben klappt... in der Vorschau jedenfalls nicht...)
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:27 Sa 02.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Nicht immer ist die vollständige Induktion nur mit umformeln von n auf n+1 verbunden, allerdings in Schulaufgaben oft.
Beispiele aus der Praxis: In einen Koffer passen unendlich viele Taschentücher:
induktionsanfang: 1 Taschentuch passt in jeden Koffer.
Induktionsvors: Man kann n Tatü in den Koffer packen.
Induktionsschluss: In jeden noch so vollen Koffer passt noch ein Tatu rein.
Anzahl des Händeschüttelns auf einer Party: Frage: Wieviel mal wird Händegeschüttelt (oder wieviel mögliche Paarungen ) auf einer Party mit n Teilnehmern.Ich nenne die Zahl [mm] Z_{n}
[/mm]
n=1 [mm] :Z_{1}=0
[/mm]
Behauptung=: [mm] Z_{n}= \summe_{i=1}^{n-1}i
[/mm]
Indanf: richtig für n=2
Indvors: richtig für n
n-->n+1: Wenn ein weiterer, (n+1)ter Teilnehmer dazu kommt muß er allen n vorherigen die Hand geben also [mm] Z_{n+1}= Z_{n}+n= \summe_{i=1}^{n}i
[/mm]
Das erste Beispiel ist natürlich Quatsch, zeigt aber das Prinzip und dass man irgendein Argument um von n nach n+1 zu kommen braucht, das Argument kann in der Umformung einer Gleichung bestehen, tut es aber i.A. nur für einfache Schulaufgaben!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
Hallo,
vielen Dank für Eure Erklärungen, leider fruchtet das noch nicht so ganz.
Wenn ich mir so ein komplettes Beispiel aus meinem Lehrheft anschaue, ohne
die Erklärungen, ist es irgendwie logisch. Leider verstehe ich aber die Gedankengänge
bei den einzelnen Schritten noch nicht so.
Um es mal kurz zu machen, welche Informationen finde ich den
bei Induktionsanfang, Indutkionsvoraussetzung und Induktionsschluss?
Bei Induktionsanfang: Hier lege ich eine kleinste natürliche Zahl fest, die ich in die
vorgegebene Formel einsetze. Und schaue ob bei der linken und rechten
Seite der Gleichung das gleiche herrauskommt. Richtig?
Bei Induktionsvoraussetzung: Hier lege ich die Bedingung fest, die für die Vorgegebene Formel
gilt. Richtig?
Bei Induktionsschluss: Hier versuche ich, durch umstellen/-formen der Formeln zu beweisen,
das beide Formelseiten gleich sind, wenn es auch für n + 1 gilt.
Richtig?
Grob gesagt, verstehe ich das so.
Deswegen dachte ich, das es vielleicht eine ausführliche "Anleitung", eventuell oder am
besten mit Gedankengängen, gibt.
Vielleicht mit der Formel: 1 + 2 + ... + n = n(n + 1)/2
Trotzdem danke für Eure Hilfe.
Und Hanna: VIEL GLÜCK bei Deiner Abi-Prüfung !!! *Daumendrück*
@ leduart: Dein Kofferbeispiel kenne ich mit Socken. 
Schönen Tag noch.
Gruß
Mathi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:22 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Fabian |
Hallo Mathi2000
Schau mal hier nach ![[]](/images/popup.gif) . Vollständige Induktion Ich finde , hier ist das Verfahren sehr gut erklärt!!!
Gruß Fabian
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:05 Sa 02.04.2005 | | Autor: | Mathi2000 |
@ Fabian: Klasse, so ungefähr hatte ich mir das vorgestellt.
Danke, das hilft mir sehr.
|
|
|
| |
|
Da hätte ich mal eine Frage zu. Ich meine es ist logisch, dass das erste Beispiel falsch ist, aber wieso? Theoretisch müsste es doch eigentlich stimmen. Es gibt einige solcher Aufgaben die mich dann manchmal ziehmlich nachdenklich machen im Bezug auf andere Aufgaben.
|
|
|
| |
|
Hallo Deep-blue-sea,
> Da hätte ich mal eine Frage zu. Ich meine es ist logisch,
> dass das erste Beispiel falsch ist, aber wieso?
Der Induktionsschritt "In jeden noch so vollen Koffer passt noch ein Tatu rein" scheint zwar auf den ersten blick einsichtig, ist aber definitiv falsch! Jedes Taschentuch (egal wie stark komprimiert) nimmt ein gewisses Volumen ein. Das Volumen des Koffers dividiert durch das Taschentuch Volumen ergibt die maximale Anzahl der Taschentücher...
Andersherum kannst du natürlich auch derart argumentieren, dass aus dem definitiv falschen Ergebniss der Vollständigen Induktion, wegen der Richtigkeit des Induktionsanfangs, der Induktionsschritt nicht stimmen kann bzw. du kannst ihn wiederlegen!
![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") Daher ist es wichtig, dass man im Induktionsschritt sehr exakt argumentiert und keine derart pauschalen Thesen anführt.
Gruß Samuel
|
|
|
| |
|
ja, das ist mir klar, aber naja es ist schon merkwürdig das bei solchen beispielen es am anfang zu stimmen scheint, aber es dann doch falsch ist. aber ich werde diese falschen aussagen einfach hinnehmen müssen ;)
|
|
|
|
