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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:09 So 25.10.2009 | | Autor: | Boerdy |
| Aufgabe | | Sei [mm]k \ge 1[/mm] eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie durch vollständige Induktion, dass die natürliche Zahl [mm] (k+1)^n [/mm] -1 für alle natürlichen Zahlen n [mm] \ge [/mm] 0 durch k teilbar ist |
Also den Induktionsanfang habe ich jetzt wie folgt berechnet:
[mm]A(1) = \summe_{k=1}^{1} (1+1)^1 -1 = 1 [/mm]
Da A(n) und A(1) gelten, gilt auch A(n+1)
[mm]A(n) \summe_{k=1}^{n} (k+1)^n -1 \Rightarrow \summe_{k=1}^{n+1} (k+1)^{n+1} -1[/mm]
Z.z. [mm] (k+1)^n -1 \Rightarrow (k+1)^{n+1} -1[/mm]
Ist das soweit richtig oder wo steckt der Fehler und vor allem wie geht es weiter? Ich bin am verzweifeln :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:27 So 25.10.2009 | | Autor: | abakus |
> Sei [mm]k \ge 1[/mm] eine beliebige natürliche Zahl. Beweisen Sie
> durch vollständige Induktion, dass die natürliche Zahl
> [mm](k+1)^n[/mm] -1 für alle natürlichen Zahlen n [mm]\ge[/mm] 0 durch k
> teilbar ist
> Also den Induktionsanfang habe ich jetzt wie folgt
> berechnet:
>
> [mm]A(1) = \summe_{k=1}^{1} (1+1)^1 -1 = 1[/mm]
> Da A(n) und A(1)
> gelten, gilt auch A(n+1)
> [mm]A(n) \summe_{k=1}^{n} (k+1)^n -1 \Rightarrow \summe_{k=1}^{n+1} (k+1)^{n+1} -1[/mm]
>
Hallo,
wieso um Himmels Willen hantierst du hier mit Summenzeichen???
Induktionsanfang: [mm] (k+1)^1-1=k [/mm] (und das ist tatsächlich durch k teilbar)
IV: Sei [mm] (k+1)^n-1 [/mm] durch k teilbar.
IB: Auch [mm] (k+1)^{n+1}-1 [/mm] ist durch k teilbar.
Beweis: [mm] (k+1)^{n+1}-1= (k+1)^{n}*(k+1)-1=k* (k+1)^{n}+1*( k+1)^n-1.
[/mm]
k* [mm] (k+1)^{n} [/mm] ist selbstverständlich durch k teilbar (warum?),
und 1*( [mm] k+1)^n-1 [/mm] auch (WARUM???)
Gruß Abakus
> Z.z. [mm](k+1)^n -1 \Rightarrow (k+1)^{n+1} -1[/mm]
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> Ist das soweit richtig oder wo steckt der Fehler und vor
> allem wie geht es weiter? Ich bin am verzweifeln :(
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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