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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:10 Mi 28.10.2009 | | Autor: | zocca21 |
| Aufgabe | Für jede natürliche Zahl n ist [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] 2k + 1 eine Quadratzahl.
Finde duruch einsetzen einiger Zahlen für n eine Formel der Form [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] 2k + 1 = ? heraus.. |
Meine Idee war nun:
(n-1)²
Problem is dabei aber n=1...da dafür 0 herauskommt...
wäre dann also:
n=0, 1
n=1, 0
n=2, 1
n=3, 4.
ab dann passt es...
n² ist ja ebenfalls nicht möglich wegen k=0 zu Beginn...
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Hallo zocca21,
> Für jede natürliche Zahl n ist [mm] $\summe_{k=0}^{n}(2k [/mm] + 1)$ eine Quadratzahl.
>
> Finde duruch einsetzen einiger Zahlen für n eine Formel
> der Form [mm] $\summe_{k=0}^{n}(2k [/mm] + 1) = ? $ heraus..
> Meine Idee war nun:
>
> [mm] (n-1)^2
[/mm]
>
> Problem is dabei aber n=1...da dafür 0 herauskommt...
> wäre dann also:
> n=0, 1
> n=1, 0
> n=2, 1
> n=3, 4.
> ab dann passt es...
>
> [mm] n^2 [/mm] ist ja ebenfalls nicht möglich wegen k=0 zu Beginn...
Wie wär's mit [mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}(2k+1)=(n\blue{+}1)^2$ [/mm] ?
Wenn man sich die ersten paar Glieder hinschreibt, so ist doch:
[mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}(2k+1)=1+3+5+7+...$
[/mm]
Du hast also für
[mm] $\red{n=0}: 1=(\red{0}+1)^2$
[/mm]
[mm] $\red{n=1}: 1+3=4=(\red{1}+1)^2$
[/mm]
[mm] $\red{n=2}: 1+3+5=(\red{2}+1)^2$
[/mm]
usw.
Einen Beweis für die Gültigkeit der Aussage [mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}(2k+1)=(n+1)^2$ [/mm] kannst du per vollst. Induktion nach dem oberen Laufindex, also nach n machen oder - eleganter - durch Rückführung auf die dir sicher bekannte Darstellung [mm] $\sum\limits_{k=0}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$
[/mm]
Die notwendigen kleinen Umformungen versuche mal hinzubekommen ...
LG
schachuzipus
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