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Forum "Uni-Analysis-Induktion" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:43 Sa 13.03.2010
Autor: el_grecco

Aufgabe
Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: [mm] n!\ge2^{n-1} (n\in\IN) [/mm]

Hallo.
Ich kann die beiden Erklärungen "denn: (...)" nicht ganz nachvollziehen.
Beim ersten "denn":
Wird rechts vom [mm] \ge [/mm] mit (n+1) multipliziert, weil auch links vom größer-gleich-Zeichen mit (n+1) multipliziert wurde?

Beim zweiten "denn":
Diese Erklärung leuchtet mir wirklich nicht ein, ebenso leuchtet mir das [mm] 2*2^{n-1} [/mm] vor der Klammer nicht ein.

Induktionsanfang: n=1 Es ist [mm] 1!=1\ge1=2^{0}=2^{1-1} [/mm]

Induktionsschritt n [mm] \mapsto [/mm] n + 1

Induktionsvoraussetzung: Es gelte für ein [mm] n\in\IN, [/mm] dass [mm] n!\ge2^{n-1} [/mm] wahr ist.

Dann ist

(n+1)! = (n+1)*n!
[mm] \ge(n+1)\*2^{n-1} [/mm] (denn: [mm] n!\ge2^{n-1} \Rightarrow (n+1)*n!\ge(n+1)*2^{n-1}) [/mm]
[mm] \ge2*2^{n-1} [/mm] (denn: [mm] n\ge1 \Rightarrow n+1\ge2) [/mm]
[mm] =2^{n} [/mm] = [mm] 2^{(n+1)-1} [/mm]

Vielen Dank.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Abschätzungen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:02 Sa 13.03.2010
Autor: Loddar

Hallo el_grecco!


>  Beim ersten "denn":
> Wird rechts vom [mm]\ge[/mm] mit (n+1) multipliziert, weil auch
> links vom größer-gleich-Zeichen mit (n+1) multipliziert wurde?

Hier wurde nichts mit $(n+1)_$ multipliziert.

Erst wurde die Definition bzw. eine Eigenschaft der Fakultät anwandt mit:
$$(n+1)! \ = \ n!*(n+1) \ = \ (n+1)*n!$$

Anschließend wurde auf den Term $n!_$ die Induktionsvorausetzung $n! \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 2^{n-1}$ [/mm] angewandt.



> Beim zweiten "denn":
> Diese Erklärung leuchtet mir wirklich nicht ein,

Hm, wenn gilt $n \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ , da $n \ [mm] \in [/mm] \ [mm] \IN$ [/mm] , folgt draus natürlich auch unmittelbar:
$$n+1 \ [mm] \ge [/mm] \ 1+1 \ = \ 2$$

> ebenso leuchtet mir das [mm]2*2^{n-1}[/mm] vor der Klammer nicht ein.

Es wurde wieder abgeschätzt mit dem o.g.: $(n+1) \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ .


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
Vollständige Induktion: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 18:23 Sa 13.03.2010
Autor: el_grecco

Danke soweit, Loddar.

Mein einziges Problem ist nun das erste "denn".
Vielleicht hilft es, wenn ich schreibe, wie ich die Erklärung verstehe.

Ich setze in die IV n+1 ein.
Auf der linken Seite erhalte ich entsprechend der Fakultätsregel (n+1)*n!.

Ich würde dann aber weiter so vorgehen, dass ich n+1 in [mm] 2^{n-1} [/mm] einsetze und das ergibt nicht das in der Lösung stehende [mm] (n+1)*2^{n-1} [/mm]

Irgendwie stehe ich hier total auf dem Schlauch...

Bezug
        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:13 So 14.03.2010
Autor: angela.h.b.


> Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: [mm]n!\ge2^{n-1} (n\in\IN)[/mm]

>  
> Induktionsanfang: n=1 Es ist [mm]1!=1\ge1=2^{0}=2^{1-1}[/mm]
>  
> Induktionsschritt n [mm]\mapsto[/mm] n + 1
>  
> Induktionsvoraussetzung: Es gelte für ein [mm]n\in\IN,[/mm] dass
> [mm] \red{n!\ge 2^{n-1}} [/mm] wahr ist.

Hallo,

unter dieser Voraussetzung ist nun im Induktionsschluß zu zeigen, daß dann auch gilt

Induktionsschluß: [mm] (n+1)!\ge 2^n. [/mm]

Beweis:

Es ist

>  
> (n+1)! = [mm] (n+1)*\red{n!\qquad \ge}\quad (n+1)\*\red{2^{n-1}}(denn:[/mm]  [mm]n!\ge2^{n-1} \Rightarrow (n+1)*n!\ge(n+1)*2^{n-1})[/mm]

Hier wird die Induktionsvoraussetzung verwendet!

Gruß v. Angela

>  
> [mm]\ge2*2^{n-1}[/mm] (denn: [mm]n\ge1 \Rightarrow n+1\ge2)[/mm]
>  [mm]=2^{n}[/mm] =
> [mm]2^{(n+1)-1}[/mm]
>  
> Vielen Dank.


Bezug
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