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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 So 23.10.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
| Aufgabe | Für alle [mm]n \in \IN[/mm] mit n>=1 gilt
[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)=\bruch{n*(n+1)*(n+2)}{3}[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)*(k+2)=\bruch{n*(n+1)*(n+2)*(n+3)}{4}[/mm]
Stellen Sie eine Vermutung auf, welche Formel allgemein für
[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)* ... *(k+m-1)[/mm]
gilt, wobei [mm]m \in \IN[/mm], m>=1. Beweisen Sie die Vermutung durch vollständige Induktion. |
Hallo liebe Mithelfer,
Ich habe gerade mein Studium der Physik begonnen und habe mich vorher noch nicht mit Induktionsbeweisen beschäftigen müssen, ich bitte also um Entschuldigung für grobe Unkenntnis.
Ich verzweifele etwas an dieser Aufgabe da ich keinerlei Idee mehr für eine Lösung habe und mir auch Bücher nicht wirklich Erkenntnis lieferten. Hier meine Vorgehensweise:
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Vermutung:
[mm]
\summe_{k=1}^{n} k*(k+1)* ... *(k+m-1) = \bruch{n*(n+1)* ... *(n+m)}{m+1}
[/mm]
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Induktionsanfang:
[mm]n=1,m=1:[/mm]
[mm]1 = \bruch{ 1*(1+1) }{ 2 }[/mm]
w.A.
-----------------
Induktionsschritt:
[mm]n \to n+1[/mm]
[mm]\summe_{k=1}^{n+1} k*(k+1)* ... *(k+m-1)[/mm]
[mm]= (n+1) * (n+1+1) * ... * (n+1+m-1) + \summe_{k=1}^{n} k * (k+1) * ... * (k+m-1)[/mm]
lt. Vermutung:
[mm]= (n+1) * (n+1+1) * ... * (n+1+m-1) + \bruch{n * (n+1) * ... * (n+m)}{m+1}[/mm]
Ich habe nun jedoch keinerlei Idee wie ich das weiter zur Ursprünglichen Aussage mit n+1 umformen kann (schreibweise mit der Produktformel hat mir auch nichts gebracht), ich bitte um Hilfe!
Vielen Dank und liebe Grüße
Martin
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:03 So 23.10.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
für alle n und m=1 und m= 1 und 2 steht die Formel ja schon als gültig in der Aufgabenstellung. du musst also nur die induktion über m machen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:15 So 23.10.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
Oha dann bin ich ja ziemlich falsch ran gegangen...
Wirklich "Klick" hat es aber leider noch nicht gemacht :(
Das würde doch für den Induktionsschritt bedeuten
[mm] \summe_{k=1}^{n} k*(k+1)* ... *(k+m) [/mm]
Und wie verfahre ich nun um zu zeigen das meine Formel stimmt??
Gruß
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:24 So 23.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Ich schlage Induktion über $n$ vor, so wie Du das schon begonnen hast. Für $n=1$ mußt Du allerdings die Behauptung für alle $m$ zeigen, nicht nur für $m=1$.
Im Induktionsschritt bist Du hängen geblieben. Aber einfach stur weiter rechnen (auf Hauptnenner $m+1$ bringen), und schon steht die Formel für $n+1$ da.
Viel Erfolg,
Wolfgang
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:29 So 23.10.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
Für alle [mm]m[/mm] im Induktionsanfang muss ich das zeigen oder?
Und da wär mein ursprüngliches Problem, wenn ich meinen Weg weiter verfolge kommt da irgendwie nur Unsinn raus, ich weiss gar nicht richtig wie ich dann im Zähler richtig zusammenfasse um meine Aussage zu erhalten.
Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
EDIT:
Meine Zwischenschritte:
[mm] = (n+1)*(n+2)* ... * (n+m) + \bruch{n*(n+2)* ... * (n+m)}{m+1} [/mm]
[mm] = \bruch{ (n+1)*(n+2)* ... * (n+m) * (m+1) + n*(n+2)* ... * (n+m)}{m+1} [/mm]
EDIT END
Gruß
Martin
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:18 Mo 24.10.2011 | | Autor: | Helbig |
Hallo Martin,
> Für alle [mm]m[/mm] im Induktionsanfang muss ich das zeigen oder?
Genau. Für alle $m$ und $n=1$,
Also
[mm] $\summe_{k=1}^1 k(k+1)\cdots(k+m-1)=1\cdot 2\cdots (1+m-1)=1\cdot 2\cdots [/mm] m= [mm] \bruch {1\cdot 2\cdots m\cdot(m+1)} [/mm] {m+1}$
und dies ist Deine Vermutung für $n=1$.
>
> Und da wär mein ursprüngliches Problem, wenn ich meinen
> Weg weiter verfolge kommt da irgendwie nur Unsinn raus, ich
> weiss gar nicht richtig wie ich dann im Zähler richtig
> zusammenfasse um meine Aussage zu erhalten.
Jetzt sind wir beim Induktionsschritt.
>
> Kann mir da jemand auf die Sprünge helfen?
>
> EDIT:
> Meine Zwischenschritte:
>
> [mm]= (n+1)*(n+2)* ... * (n+m) + \bruch{n*(n+2)* ... * (n+m)}{m+1}[/mm]
Hier liegt wohl ein Rechen- oder Tippfehler vor.
Ich erhalte
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1} k(k+1)\cdots(k+m-1)$
[/mm]
[mm] $=\summe_{k=1}^n k(k+1)\cdots(k+m-1)+(n+1)(n+2)\cdots [/mm] (n+1+m-1)$
[mm] $=\bruch{ n(n+1)\cdots(n+m)} {m+1}+(n+1)(n+2)\cdots [/mm] (n+m)$
[mm] $=\bruch [/mm] { [mm] n(n+1)\cdots(n+m) [/mm] + [mm] (m+1)(n+1)(n+2)\cdots(n+m [/mm] )}{m+1}$
Und für den Zähler alleine weiter:
[mm] $=n(n+1)\cdots(n+m)+m(n+1)\cdots(n+m)+(n+1)\cdots(n+m)$
[/mm]
[mm] $=(n+m)(n+1)\cdots(n+m)+(n+1)\cdots(n+m)$
[/mm]
[mm] $=(n+m+1)(n+1)\cdots(n+m)$
[/mm]
[mm] $=(n+1)\cdots(n+1+m)$
[/mm]
Fertig!
viele Grüße,
Wolfgang
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:01 Mo 24.10.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
Ja da war ein Tippfehler dabei.
Mir war die Zählerumformung unklar, ich hatte nicht gesehen das man m+n aufteilen kann und zusammenfassen kann.
Vielen dank für die Hilfe!
Liebe Grüße
Martin
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:33 So 23.10.2011 | | Autor: | Loddar |
Hallo HoRu!
Die Aussage, dass Du der Urheber dieses Anhangs bist, halte ich für ziemlich gewagt.
Was spricht dagegen, diese Aufgabenstellung hier direkt zu posten?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 So 23.10.2011 | | Autor: | HoRuS89 |
Die Aufgaben stehen unter keinen Urheberrechten, Ich liefere aber die Aufgabenstellung noch einmal nach.
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