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Forum "Uni-Analysis" - Vollständige Induktion
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Vollständige Induktion: 3/n³+5n ; 6/n³-n
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:19 Di 30.08.2005
Autor: panzer

Hi!

Habe folgendes Problem habe angesetzt mit der Vollständigen Induktion, indem ich einen Anker gesetzt habe bei beiden n=1 , ging auch bei beiden.
Jetzt habe ich aber das Problem,dass ich nicht von  6/n³-n (6 teilt n³-n) auf 6/(n+1)³-(n+1). Wie komm ich am einfachsten darauf? Das ist bei der zweiten Aufgabe nämlich dasselbe Problem.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:25 Di 30.08.2005
Autor: Julius

Hallo panzer!

Also leichter geht es ohne Iduktion, aber wenn es sein muss... ;-)

[mm] $(n+1)^3-(n+1) [/mm] = [mm] n^3+3n^2+3n+1-n-1 [/mm] = [mm] n^3-n [/mm] + 3n(n+1)$.

Nun ist [mm] $n^3-n$ [/mm] nach Induktionsvoraussetzung durch $6$ teilbar.

Da $n(n+1)$ la Produkt zweier aufeinanderfolgender Zahlen durch $2$ teilbar ist ((genau) einer der beiden Faktoren ist ja gerade), ist auch $3n(n+1)$ durch $6$ teilbar.

Fertig...

Viele Grüße
Julius

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Bezug
Vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:05 Di 30.08.2005
Autor: panzer

Wie würd es denn ohne Induktion gehen ?

Bezug
                        
Bezug
Vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:10 Di 30.08.2005
Autor: Julius

Hallo!

Es gilt:

[mm] $n^3-n [/mm] = n [mm] \cdot [/mm] (n-1) [mm] \cdot [/mm] (n+1)$.

Als Produkt dreier aufeinander folgender Zahlen ist dies durch $2$ und durch $3$ teilbar; wegen $ggT(2,3)=1$ also auch durch $6=2 [mm] \cdot [/mm] 3$.

Viele Grüße
Julius

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Bezug
Vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:15 Di 30.08.2005
Autor: panzer

danke für deine hilfe

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