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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:27 So 15.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die reelle Zahlenfolge [mm] (x_{n})_{n \in N_{+}} [/mm] mit [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{5n-1}{2n} [/mm] auf Monotonie und
Beschränktheit, und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert. |
Guten Tach,
die Monotonie hab ich schon bestimmt, aber bei der Beschränktheit komm ich net voran.
Durch das Einsetzen von einigen Werten sieht es stark danach aus als wäre diese [mm] 2\ge x_{n} [/mm] > 2,5
Ich wollte erst einmal beweisen, dass [mm] x_{n} [/mm] = [mm] \bruch{5n-1}{2n} \le [/mm] 2 ist.
Also habe ich erstmal das ganze für n=1 gemacht und da stimmt es. Dann bin ich mir net mehr sicher wie die vollständige Induktion geht. Ich muss ja beweisen, dass es auch für n+1 gilt, also habe ich das eingesetzt
[mm] x_{n+1} [/mm] = [mm] \bruch{5n+4}{2n+2} \le [/mm] 2
wie geht es nun weiter ? Setze ich für n etwas ein ?
danke im voraus,
grüße Andi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 So 15.04.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Für den Nachweis der beiden Schranken kommst Du m.E. auch ohne die Induktion aus.
Forme z.B. einfach die Ungleichung [mm]\bruch{5n-1}{2n} \ \le \ \bruch{5}{2}[/mm] soweit um, bis eine wahre Aussage entsteht.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:00 So 15.04.2012 | | Autor: | Infoandi |
Hallo Loddar,
danke erstmal hat wunderbar geklappt.
Könntest du mir vielleicht trotzdem noch sagen wie ich bei der Induktion weiter vorgehen muss ?
grüße Andi
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Hallo,
> Könntest du mir vielleicht trotzdem noch sagen wie ich
> bei der Induktion weiter vorgehen muss ?
Das Problem ist, dass man die Induktionsvoraussetzung in der Induktion nicht braucht, weil es eben auch ganz ohne Induktion wunderbar klappt.
Man muss sehr viel Aufwand betreiben, um die Induktionsvoraussetzung einzubringen.
Bei deinem ersten Post sind alle Relationszeichen verkehrt herum.
Du hast
[mm] $x_n [/mm] = [mm] \frac{5n-1}{2n}$
[/mm]
und möchtest zeigen:
$2 [mm] \le x_n \le \frac{5}{2}$.
[/mm]
Induktionsschritt: Wegen der Monotonie weisst du:
$2 [mm] \le x_n \le x_{n+1}$.
[/mm]
Die Beschränktheit nach oben ist nicht mit dem Induktionsprinzip beweisbar. Weil [mm] $(x_n)$ [/mm] monoton wächst und somit [mm] $x_n \le x_{n+1}$ [/mm] gilt, kannst du die Aussage [mm] $x_n \le [/mm] 2.5$ nicht nutzen, um [mm] $x_{n+1}$ [/mm] zu zeigen.
Grüße,
Stefan
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