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| Aufgabe | Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion folgende Aussage:
[mm] 1+4+7+...+(3n-2)=\bruch{n(3n-1)}{2} [/mm] |
Hallo,
ich bin noch nicht ganz so fit in der vollständigen Induktion.
Meine Rechnung:
Induktionsannahme:
A(n=1): [mm] (3*1-2)=\bruch{1(3*1-1)}{2}
[/mm]
ergibt: 1=1; somit erfüllt
Induktionsschluss:
A(n+1): [mm] (3*(n+1)-2)=\bruch{(n+1)(3(n+1)-1)}{2}
[/mm]
[mm] (3n+3-2)=\bruch{(n+1)(3n+3-1)}{2}
[/mm]
[mm] (3n+1)=\bruch{(n+1)(3n+2)}{2}
[/mm]
Bin ich schon fertig? Ich sehe nie, wann ich fertig bin.
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Hallo Mathe-Andi,
> Beweisen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion
> folgende Aussage:
>
> [mm]1+4+7+...+(3n-2)=\bruch{n(3n-1)}{2}[/mm]
> Hallo,
>
> ich bin noch nicht ganz so fit in der vollständigen
> Induktion.
>
> Meine Rechnung:
>
> Induktionsannahme:
>
> A(n=1): [mm](3*1-2)=\bruch{1(3*1-1)}{2}[/mm]
> ergibt: 1=1; somit erfüllt
>
> Induktionsschluss:
>
> A(n+1): [mm](3*(n+1)-2)=\bruch{(n+1)(3(n+1)-1)}{2}[/mm]
>
> [mm](3n+3-2)=\bruch{(n+1)(3n+3-1)}{2}[/mm]
>
> [mm](3n+1)=\bruch{(n+1)(3n+2)}{2}[/mm]
>
> Bin ich schon fertig? Ich sehe nie, wann ich fertig bin.
>
Zunächst nimmst Du an die obige Formel sei bis n richtig.
Zu zeigen ist dann, daß sie auch für n+1 richtig ist.
Dazu gehst Du so vor:
[mm]\summe_{k=1}^{n+1}{3k-2}=\underbrace{\summe_{k=1}^{n}{3k-2}}_{Induktionsvoraussetzung}+\left( \ 3*\left(n+1\right)-2\ }\ \right)=\bruch{n(3n-1)}{2}+\left( \ 3*\left(n+1\right)-2\ }\ \right)[/mm]
Zeige nun, daß sich der Ausdruck auf der rechten Seite,
als Formel obiger Bauart schreiben läßt.
Gruss
MathePower
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Meine neue Rechnung:
[mm] 1+4+7+...+(3n-2)=\bruch{n(3n-1)}{2}
[/mm]
A(n): [mm] \summe_{k=1}^{n} (3k-2)=\bruch{n(3n-1)}{2}
[/mm]
A(n=1): [mm] \summe_{k=1}^{1} (3*1-2)=\bruch{1(3*1-1)}{2} \Rightarrow [/mm] 1=1
A(n+1): [mm] \summe_{k=1}^{n+1} (3k-2)=\bruch{n+1(3(n+1)-1)}{2}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} [/mm] (3k-2)= [mm] \summe_{k=1}^{n} [/mm] (3k-2) + 3(n+1)-2
[mm] =\bruch{n(3n-1)}{2} [/mm] + 3(n+1)-2
[mm] =\bruch{3n^{2}-n}{2} [/mm] + [mm] \bruch{3n+1}{1}
[/mm]
= [mm] \bruch{3n^{2}-n+6n+2}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{n(3n+5)+2}{2}
[/mm]
Ist das richtig so? Bin ich jetzt fertig? Die ursprüngliche Form ist es ja nicht ganz.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:14 So 28.10.2012 | | Autor: | teo |
> Meine neue Rechnung:
>
> [mm]1+4+7+...+(3n-2)=\bruch{n(3n-1)}{2}[/mm]
>
> A(n): [mm]\summe_{k=1}^{n} (3k-2)=\bruch{n(3n-1)}{2}[/mm]
>
> A(n=1): [mm]\summe_{k=1}^{1} (3*1-2)=\bruch{1(3*1-1)}{2} \Rightarrow[/mm]
> 1=1
>
> A(n+1): [mm]\summe_{k=1}^{n+1} (3k-2)=\bruch{n+1(3(n+1)-1)}{2}[/mm]
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1}[/mm] (3k-2)= [mm]\summe_{k=1}^{n}[/mm] (3k-2) +
> 3(n+1)-2
>
> [mm]=\bruch{n(3n-1)}{2}[/mm] + 3(n+1)-2
>
> [mm]=\bruch{3n^{2}-n}{2}[/mm] + [mm]\bruch{3n+1}{1}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{3n^{2}-n+6n+2}{2}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{n(3n+5)+2}{2}[/mm]
>
Bis hierhin ist es richtig.
> Ist das richtig so? Bin ich jetzt fertig? Die
> ursprüngliche Form ist es ja nicht ganz.
>
Nein die gewünschte Form ist es ganz offensichtlich nicht. Wie schaut denn die gewünschte Form aus? Schreib sie dir mal hin und form sie um, dann siehst du wies weiter geht. Außerdem ist die Induktion so wie du sie hingeschrieben hast nicht wirklich schön!
Grüße
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:49 So 28.10.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Die Form in der ich sie haben will lautet:
[mm] \bruch{n+1(3n+2)}{2}
[/mm]
Ich weiß nicht, wie ich meine weiter umformen soll. Wenn ich die obere ausmultipliziere komme ich auf meine Form. Aber mit welchem Schritt erreiche ich das?
Bei [mm] \bruch{3n^{2}+5n+2}{2} [/mm] im Zähler eine quadratische Ergänzung durchführen? Sorry ich stehe hoffnungslos auf dem Schlauch.
Ich habe mir Mühe gegeben die Induktion ordentlich aufzuschreiben. Überall findet man nur Abkürzungen mit ausgelassenen Zwischenschritten. Der Student in unserem Mathe Tutorium hat die Induktion in 2 Zeilen (!) an die Tafel gerotzt. Induktionsanfang und Induktionsschluss. Und da soll man noch was lernen. Ich habe mich an meiner Mitschrift orientiert. Im Papula steht leider dazu nichts.
Wie schreibt man sie denn schön auf?
Danke, Gruß Andreas
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Hallo Mathe-Andi,
> Die Form in der ich sie haben will lautet:
>
> [mm]\bruch{n+1(3n+2)}{2}[/mm]
>
> Ich weiß nicht, wie ich meine weiter umformen soll. Wenn
> ich die obere ausmultipliziere komme ich auf meine Form.
> Aber mit welchem Schritt erreiche ich das?
>
Ersetze die "2" durch "3-1" im Zähler.
> Bei [mm]\bruch{3n^{2}+5n+2}{2}[/mm] im Zähler eine quadratische
> Ergänzung durchführen? Sorry ich stehe hoffnungslos auf
> dem Schlauch.
>
> Ich habe mir Mühe gegeben die Induktion ordentlich
> aufzuschreiben. Überall findet man nur Abkürzungen mit
> ausgelassenen Zwischenschritten. Der Student in unserem
> Mathe Tutorium hat die Induktion in 2 Zeilen (!) an die
> Tafel gerotzt. Induktionsanfang und Induktionsschluss. Und
> da soll man noch was lernen. Ich habe mich an meiner
> Mitschrift orientiert. Im Papula steht leider dazu nichts.
>
> Wie schreibt man sie denn schön auf?
>
> Danke, Gruß Andreas
Gruss
MathePower
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[mm] \bruch{(n+1)(3n+2)}{2} \Rightarrow \bruch{(n+1)(3n+3-1)}{2}
[/mm]
Ich sehe leider keinen Zusammenhang zu meiner Form [mm] \bruch{n(3n+5)+2}{2}. [/mm] :-(
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Hallo Andi,
> [mm]\bruch{(n+1)(3n+2)}{2} \Rightarrow \bruch{(n+1)(3n+3-1)}{2}[/mm]
>
> Ich sehe leider keinen Zusammenhang zu meiner Form
> [mm]\bruch{n(3n+5)+2}{2}.[/mm] :-(
Allen Ernstes: dann solltest du die Mittelstufe mal wiederholen oder zumindestens ihren Mathestoff.
Multipliziere die Zähler einfach mal aus.
Grüße
reverend
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> Allen Ernstes: dann solltest du die Mittelstufe mal
> wiederholen oder zumindestens ihren Mathestoff.
Wenn ich mal einen Hänger habe bitte ich um Entschuldigung.
Ich sehe natürlich dass die Zähler ausmultipliziert dasselbe ergeben. Mein Problem war nur, dass ich nicht wusste wie ich auf direktem Weg von [mm] \bruch{3n^{2}+5n+2}{2} [/mm] auf die Form [mm] \bruch{(n+1)(3n+2)}{2} [/mm] komme. Ich habe nun meine Form mit Hilfe der pq-Formel in die Nullstellenform gebracht.
[mm] \bruch{(n+1)(n+\bruch{2}{3})}{2}
[/mm]
Nun stimmts, ist ja dasselbe  War auch vorher dasselbe.
Die Frage weswegen ich diesen Hänger hatte:
Es gilt bei der Induktion also nur die Gleichheit beider Terme zu beweisen, dabei ist es nicht notwendig, dass mein Ergebnis zwingend in der Form der Induktionsbehauptung formuliert ist?
(Das dachte ich bisher nämlich immer, dann hätte ich mir das mit der Nullstellenform sparen können.)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:30 So 28.10.2012 | | Autor: | teo |
> > Allen Ernstes: dann solltest du die Mittelstufe mal
> > wiederholen oder zumindestens ihren Mathestoff.
>
> Wenn ich mal einen Hänger habe bitte ich um
> Entschuldigung.
>
> Ich sehe natürlich dass die Zähler ausmultipliziert
> dasselbe ergeben. Mein Problem war nur, dass ich nicht
> wusste wie ich auf direktem Weg von [mm]\bruch{3n^{2}+5n+2}{2}[/mm]
> auf die Form [mm]\bruch{(n+1)(3n+2)}{2}[/mm] komme. Ich habe nun
> meine Form mit Hilfe der pq-Formel in die Nullstellenform
> gebracht.
>
> [mm]\bruch{(n+1)(n+\bruch{2}{3})}{2}[/mm]
Das ist doch Quatsch! Wo ist denn bitte [mm]\bruch{(n+1)(n+\bruch{2}{3})}{2}= \bruch{(n+1)(3n+2)}{2} [/mm]? Da hast du ja schonmal den Faktor 3 unterschlagen!
> Nun stimmts, ist ja dasselbe War auch vorher dasselbe.
Stimmt eben nicht!
> Die Frage weswegen ich diesen Hänger hatte:
>
> Es gilt bei der Induktion also nur die Gleichheit beider
> Terme zu beweisen, dabei ist es nicht notwendig, dass mein
> Ergebnis zwingend in der Form der Induktionsbehauptung
> formuliert ist?
> (Das dachte ich bisher nämlich immer, dann hätte ich mir
> das mit der Nullstellenform sparen können.)
>
Ich verstehe ehrlich gesagt dein Problem nicht. Dir hat doch nur noch der Schritt von [mm] $\frac{3n^2+5n+2}{2}$ [/mm] auf [mm] $\bruch{(n+1)(3n+2)}{2}$ [/mm] gefehlt. So wenn man das jetzt nicht sofort sieht wies geht, dann multipliziere doch einfach mal [mm] $\bruch{(n+1)(3n+2)}{2}$ [/mm] aus. Dann ist: [mm] $\bruch{(n+1)(3n+2)}{2} [/mm] = [mm] \frac{3n^2+2n+3n+2}{2}$ [/mm] Und schon siehst du wie du auf "direktem" Weg vorgehen musst:
[mm] $\frac{3n^2+5n+2}{2} [/mm] = [mm] \frac{3n^2+2n+3n+2}{2} [/mm] = [mm] \bruch{(n+1)(3n+2)}{2}$ [/mm] War das jetzt so schwierig?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:12 So 28.10.2012 | | Autor: | Mathe-Andi |
Ihr habt Recht. Sorry, ich bin heute wohl mit dem falschen Bein aufgestanden.
Ich habe jetzt mehrere Induktionsaufgaben gelöst, nach diesem Schema und am Ende, wenn es ums Auflösen ging, habe ich die gegebene Form ausmultipliziert und meine Form dann schrittweise darauf hin geführt.
Das geht relativ schnell und schaut sauber aus. Vielen Dank für Eure Hilfe und Nerven mit mir!
Gruß, Andreas
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