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| Aufgabe | 1)Zeigen Sie, dass für alle a,b [mm] \in \IC [/mm] gilt:
[mm] (a+b)^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^i*b^{n-i}
[/mm]
2) Folgern Sie hieraus: Für i [mm] \in\ [/mm] {0,...,n [mm] \} [/mm] gilt [mm] \vektor{n \\ i} \le 2^n
[/mm]
3) Zeigen Sie, dass für alle q [mm] \in \IC [/mm] gilt:
[mm] (1-q)\summe_{i=0}^{n}q^i=1-q^{n+1}
[/mm]
4) Folgern Sie aus 3) für alle a,b [mm] \in \IC
[/mm]
[mm] a^n-b^n=(a-b)\summe_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i [/mm] |
Hier mehr Aufgaben um Vollständige Induktion:
Ich stehe bei allen Fragen auf dem Schlauch.
Bei der 1) habe ich es mit dem Induktionsanfang a=b=1 versucht:
[mm] (1+1)^n=2^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{1}\vektor{1 \\ i}a^i*b^{1-i} [/mm] = 1
da ja 1 über 0 gleich 1 ist und a hoch k auch 1 und b hoch 1 minus 0 auch 1.
Also ist ja schon der IA falsch.
Bei der 3) habe ich folgendes gerechnet:
I.A.
q=1
Ergibt 0=0
[mm] (1-(q+1))\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n [/mm] = 1-(q+1)^(n+1)
I.S.
[mm] q*\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n [/mm]
Aber wo soll ich hier die IV anwenden?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:48 So 14.04.2013 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> 1)Zeigen Sie, dass für alle a,b [mm]\in \IC[/mm] gilt:
>
> [mm](a+b)^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}a^i*b^{n-i}[/mm]
>
> 2) Folgern Sie hieraus: Für i [mm]\in\[/mm] {0,...,n } gilt
> [mm]\vektor{n \\ i} \le 2^n[/mm]
>
> 3) Zeigen Sie, dass für alle q [mm]\in \IC[/mm] gilt:
>
> [mm](1-q)\summe_{i=0}^{n}q^i=1-q^{n+1}[/mm]
>
> 4) Folgern Sie aus 3) für alle a,b [mm]\in \IC[/mm]
>
> [mm]a^n-b^n=(a-b)\summe_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^i[/mm]
>
> Hier mehr Aufgaben um Vollständige Induktion:
>
> Ich stehe bei allen Fragen auf dem Schlauch.
>
> Bei der 1) habe ich es mit dem Induktionsanfang a=b=1
> versucht:
>
> [mm](1+1)^n=2^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{1}\vektor{1 \\ i}a^i*b^{1-i}[/mm] = 1
Oh nein, n=1 a und b sind beliebig
für n=1 hast du einerseits [mm] (a+b)^{1}=a+b
[/mm]
und andererseits
[mm] \sum\limits_{i=0}^{1}{n\choose i}a^i\cdot b^{n-i}
[/mm]
[mm] =\underbrace{{1\choose0}\cdot a^{0}\cdot b^{1-0}}_{i=0}+\underbrace{{1\choose1}\cdot a^{1}\cdot b^{1-1}}_{i=1}=\ldots
[/mm]
Für den Induktionschritt beginne mit der Rückseite:
[mm] (a+b)^{n+1}=(a+b)\cdot(a+b)^{n}=(a+b)\cdot
[/mm]
[mm] \sum\limits_{i=0}^{n}{n\choose i}a^i\cdot b^{n-i}
[/mm]
[mm] =\ldots=\sum\limits_{i=0}^{n+1}{n+1\choose i}a^i\cdot b^{n-i}
[/mm]
Den sehr ausführlich erklärten Beweis findest du ![[]](/images/popup.gif) hier.
> 1
>
> da ja 1 über 0 gleich 1 ist und a hoch k auch 1 und b hoch
> 1 minus 0 auch 1.
>
> Also ist ja schon der IA falsch.
>
> Bei der 3) habe ich folgendes gerechnet:
>
> I.A.
> q=1
> Ergibt 0=0
>
> [mm](1-(q+1))\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n[/mm] = 1-(q+1)^(n+1)
>
> I.S.
> [mm]q*\summe_{i=0}^{n}(q+1)^n[/mm]
>
> Aber wo soll ich hier die IV anwenden?
Auch hier n ist die Induktionsvariable. Dein Anfang ist schon falsch.
Marius
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Zu ii)
Ich benutze k=1 was n über 1 = n entspricht und das ist immer kleiner als 2 hoch n.
[mm] \vektor{n \\ 1} \le 2^n
[/mm]
nun habe ich im IS diesen Term:
[mm] \bruch{n!}{((k+1)!(n-(k+1)))!} \le 2^n
[/mm]
Was nun?
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Hallo,
> Zu ii)
>
> Ich benutze k=1 was n über 1 = n entspricht und das ist
> immer kleiner als 2 hoch n.
>
> [mm]\vektor{n \\ 1} \le 2^n[/mm]
>
> nun habe ich im IS diesen Term:
>
> [mm]\bruch{n!}{((k+1)!(n-(k+1)))!} \le 2^n[/mm]
>
> Was nun?
Falls du Aufgabe 2) meinst:
Zu zeigen: [mm] $\vektor{n \\i} \le 2^{n}$ [/mm] für alle $i = 0,...,n$ (*)
Dann darfst Du für i keinen Wert einsetzen, die Aussage soll doch für alle i gelten. Du musst diese Aussage auch nicht mit Induktion zeigen.
Zum Beweis:
Nach Aufgabe 1) gilt doch:
[mm] $2^{n} [/mm] = [mm] (1+1)^{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n\\i} 1^{i} 1^{n-i} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n \\i}$.
[/mm]
Kannst du daraus die Behauptung (*) folgern?
Viele Grüße,
Stefan
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Das einzige was mir dazu einfällt ist
[mm] 2^n [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ n-i}
[/mm]
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Hallo,
> Das einzige was mir dazu einfällt ist
>
> [mm]2^n[/mm] = [mm]\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ i}=\summe_{i=0}^{n}\vektor{n \\ n-i}[/mm]
Stelle bitte deine Fragen als "Fragen", und nicht als "Mitteilungen" !
Ich hatte doch geschrieben:
[mm] $2^{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n\\i}$.
[/mm]
Jeder einzelne Summand auf der rechten Seite ist positiv! Daher gilt für i = 0,...,n:
[mm] $2^{n} [/mm] = [mm] \sum_{i=0}^{n}\vektor{n\\i} \ge \vektor{n\\i}$.
[/mm]
Viele Grüße,
Stefan
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zu iv)
Habe nun als IA n=1 genommen was a+b= a+b bringt.
Im Induktionsschritt bin ich bei
[mm] (a-b)\summe_{i=0}^{n}a^{n-i}*b^i
[/mm]
Weiß aber nicht wie ich die Gleichung so umformen kann, dass ich die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann.
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Hallo,
Zu 4)
> Habe nun als IA n=1 genommen was a+b= a+b bringt.
>
> Im Induktionsschritt bin ich bei
>
> [mm](a-b)\summe_{i=0}^{n}a^{n-i}*b^i[/mm]
>
> Weiß aber nicht wie ich die Gleichung so umformen kann,
> dass ich die Induktionsvorraussetzung einsetzen kann.
Du sollst ja Aufgabe 3) benutzen. Damit du das machst, solltest du Aufgabe 4) ohne Induktion beweisen.
Evtl. hilft dir das etwas: Für [mm] $a\not= [/mm] 0$ (Der Fall a = 0 muss gesondert betrachtet werden) gilt:
[mm] $\sum_{i=0}^{n-1}a^{n-1-i}b^{i} [/mm] = [mm] a^{n-1}\sum_{i=0}^{n-1}\left(\frac{b}{a}\right)^{i} [/mm] = ...$
Jetzt kannst du Aufgabe 3) benutzen.
Viele Grüße,
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:35 So 14.04.2013 | | Autor: | MatheDell |
Wie kann ich hier Aufgabe 3 anwenden?
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