Vollständige Induktion + ... < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Mo 26.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Wir haben 3 Bakterien in einer Nährlösung, die sich innerhalb von 68 min durch Zellteilung vermehren. Wir bezeichnen die Populationsgröße zum Zeitpunkt tn mit Atn, wobei tn die Zeit in Vielfachen von 68 Minuten ist.
Aufgabe: Finden Sie für die Anzahl der Bakterien Atn eine explizite Formel
in Abhängigkeit von n [mm] \in \IN [/mm] . Beweisen Sie die Formel mittels vollständiger Induktion. |
Ich habe mir natürlich die Formel aufgestellt um das Bakterienwachstum zu bemessen.
Atn = [mm] 3\*2^{tn} [/mm] oder in abhängigkeit n [mm] \in \IN [/mm] eben An = [mm] 3\*2^{n}
[/mm]
Atn = Populationsgröße
n = Vielfaches von 68 min
3 = Anfangsbestand
2= (da Zellteilung) also mal 2
So meine Frage, ich will meine gefunden Formel ja nun beweisen mit Hilfe Vollständiger Induktion, könnte mir da evtl jemand helfen.
Und zwar denk ich mir, da ich es ja mit einer rekursiven Folge zu tun habe oder? könnte man das bestimm auch als Summe [mm] (\summe_{K=0}^{n}) [/mm] schreiben und dann beweisen. Doch ich komm einfach nicht auf die Summe.
Könntet ihr mir da evtl helfe oder schon einen anderen Ansatz für die Vollständige Induktion geben?
Wär echt nett:) dankeee
lg euer Homer
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:01 Mo 26.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
[mm] An=3*2^n
[/mm]
ist richtig. Du musst doch nur zeigen, dass wenn du n um 1 erhöhst, dass sich die Population verdoppelt.also [mm] 2^{n+1}=2*2^n
[/mm]
das ist die ganze Induktion!
Denn die Vors ist ja, dass es sich in je 68s verdoppelt,
Die Induktion ist einfach nur zu leicht. und ne Summe draus zu machen wäre sinnlos.
In der Aufgabe steht allerdings nur, dass sie sich vermehren,eigentlich fehlt um wieviel! heisst das wirklich verdoppeln?
Gruss lleduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:39 Di 27.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
Achso lol, das hab ich dann ja schon gemacht...das war nämlich mein Versuch, allerdings hab ich gedacht, dass das zu leicht sein würde hehe
Naja in der Aufgabe wird nur von einem Vermehrungszyklus durch Zellteilung gesprochen.
Danke dir
lg Home
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:58 Di 27.11.2007 | | Autor: | IHomerI |
| Aufgabe | Der Zusammenhang zwischen zwei aufeinander folgenden Werten für die
Populationsgröße [mm] At_{n+1} [/mm] und [mm] At_{n} [/mm] besteht in der Verdopplung. Mit dem Anfangswert
At0 = 3 haben wir die rekursiv definierte Folge
At0 = 3; [mm] At_{n+1} [/mm] = [mm] 2At_{n} [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
gegeben.
Das logistische Wachstumsmodell, mit dem wir uns später eingehender beschäftigen werden, stellt einen anderen Zusammenhang her zwischen den Populationsgrößen [mm] N_{n} [/mm] und [mm] N_{n+1}, [/mm] die in gleichen Zeitintervallen gemessen bzw. vorhergesagt werden. Man erhält die rekursiv definierte Folge:
[mm] N_{0}\in\IN\setminus\{0\}; N_{n+1} [/mm] = [mm] N_{n} [/mm] + [mm] KN_{n}(G [/mm] − [mm] N_{n}) [/mm] für [mm] n\in\IN
[/mm]
mit den Konstanten G [mm] \in\IN; G>N_{0} [/mm] und [mm] K\in\IR; [/mm] 0 < K < [mm] \bruch{1}{G}.
[/mm]
Aufgabe: Zeigen Sie, dass die Folgen [mm] At_{n} [/mm] und [mm] N_{n} [/mm] streng monoton steigend
sind und berechnen Sie die Grenzwerte der Folgen.
Hinweis: Zeigen Sie zunächst mittels vollständiger Induktion, dass sowohl
[mm] At_{n} [/mm] > 0 als auch [mm] N_{n} [/mm] > 0 für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt.
Setzen Sie [mm] N_{n} [/mm] < G für alle [mm] n\in\IN [/mm] voraus, was aus den beiden Ungleichungen
G > [mm] N_{0} [/mm] und 0 < K < [mm] \bruch{1}{G} [/mm] folgt.
Aufgabe: Beweisen Sie nun mit vollständiger Induktion, was Sie in der
vorigen Aufgabe voraussetzen konnten: Aus G > [mm] N_{0} [/mm] und K < 1
G folgt [mm] N_{n} [/mm] < G für alle [mm] n\in\IN. [/mm] |
Also ich hab ja jetzt eigentlich alles geschafft aber die letzte Aufgabe bereitet mir echt kopfzerbrechen, da ich nicht weiß, wie ich diese Aufgabe lösen soll.
Also estmal hab ich probleme die monotonie und Grenzwerte zu bestimmen, da ich nicht weiß wie ich Atn (die formel hab ich ja erstellt) aber was [mm] N_{n} [/mm] ist.
Könntet ihr mir, sofern ihr den zusammenhang hier versteht, mir auf die sprünge helfen.
Und zweitens muss ich das ja alles mit der Vollständigen Induktion beweisen(steht weiter unten in der Aufgabe), doch es fällt mir schwer ne Induktion zu machen wenn da immer steht > oder < das heißt ja wieder abschätzen oder?
Doch wie? hab mich jetzt echt mehere std damit beschäftigt, aber ich komm einfach nicht vorran, weil ich keine sinnvollen Ansätze zustande bekomme.
Wär nett wenn Ihr mir hier nochmal helfen könntet. (brauche nur Ansätze wie ich diese Augabe angehen soll)
Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:20 Di 27.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
Dein [mm] At_n [/mm] ist ja leicht, dass [mm] 2*Atn=At_{n+1}>At_n [/mm] ist ist direkt. die Folge ist also monoton steigend und unbegrenzt, unbegrenzt zeigst du mit der aus der rekursiven Formel bewiesenen [mm] At_n=3*2^n [/mm] ,Herleitung durch einen einfachen Induktionsschritt. GW also [mm] \infty.
[/mm]
[mm] N_n [/mm] ist ja gegeben durch:
$ [mm] N_{0}\in\IN\setminus\{0\}; N_{n+1} [/mm] $ = $ [mm] N_{n} [/mm] $ + $ [mm] KN_{n}(G [/mm] $ − $ [mm] N_{n}) [/mm] $ für $ [mm] n\in\IN [/mm] $
mit den Konstanten G $ [mm] \in\IN; G>N_{0} [/mm] $ und $ [mm] K\in\IR; [/mm] $ 0 < K < $ [mm] \bruch{1}{G}. [/mm] $
1. [mm] N_1>N_0 [/mm] ist wegen [mm] G-N_0>0 [/mm] klar.
also noch zu [mm] zeigen:N_{n+1}>N_n, [/mm] das ist leicht, solange man [mm] G-N_n>0 [/mm] hat. also musst du nur das beweisen. durch vollst Ind.
wenn du das hast, ist die Folge monoton steigend und durch G beschrankt, dann gilt es existiert ein GW mit [mm] limN_n =limN_{n+1}=A
[/mm]
nd A=A+KA(G-A) daraus GW A.
jetzt versuch mit dem Hinweis aus der Aufgabe [mm] G-N_n>0 [/mm] zu zeigen, dann bist du fertig.
Wen du nicht zu Ende kommst zeig bitte, was du versucht hast.
Gruss leduart
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