Vollständige Induktion Aufgabe < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:09 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Ikit |
| Aufgabe | Es soll per vollständiger Induktion gezeigt werden, dass gilt:
(1 - x) [mm] \produkt_{i=0}^{n} [/mm] (1 + [mm] x^{{2}^{i}} [/mm] = 1 - [mm] x^{2^{n + 1}} [/mm] )
für x [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] mit 0 |
Also ich fang mit n = 0 als Induktionsanfang an - stimmt.
Dann guck ich, was ich zeigen will, also setz ich für n, n + 1 ein:
(1 - x) [mm] \produkt_{i=0}^{n+1} [/mm] (1 + [mm] x^{2^{i}} [/mm] = 1 - [mm] x^{{2}^{n + 2}} [/mm] )
Ich fang mir der linken Seite an und stelle um zu:
(1 - x) [mm] \produkt_{i=0}^{n} [/mm] (1 + [mm] x^{2^{i}} [/mm] * (1 + [mm] x^{2^{n + 1}} [/mm] ))
was ja nach Induktionsannahme gleich ist wie:
1 - [mm] x^{2^{n + 1}} [/mm] * (1 + [mm] x^{2^{n + 1}} [/mm] )
nach der dritten binomische Formel kann ich umstellen zu:
[mm] 1^{2} [/mm] - [mm] x^{2^{{(n + 1)}^{2}}} [/mm] = 1 - [mm] x^{{2}^{2n + 2}}
[/mm]
was aber leider nicht das gleiche ist worauf ich hinaus will, nämlich:
1 - [mm] x^{2^{n + 2}}
[/mm]
Was habe ich falsch gemacht?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es soll per vollständiger Induktion gezeigt werden, dass
> gilt:
> (1 - x) [mm]\produkt_{i=0}^{n}[/mm] (1 + [mm]x^{{2}^{i}}[/mm] )= 1 - [mm]x^{2^{n + 1}}[/mm]
>
> für x [mm]\in \IR[/mm] und n [mm]\in \IN[/mm] mit 0
> Also ich fang mit n = 0 als Induktionsanfang an - stimmt.
> Dann guck ich, was ich zeigen will, also setz ich für n, n
> + 1 ein:
>
> (1 - x) [mm]\produkt_{i=0}^{n+1}[/mm] (1 + [mm]x^{2^{i}}[/mm] )= 1 - [mm]x^{{2}^{n + 2}}[/mm]
>
>
> Ich fang mir der linken Seite an und stelle um zu:
>
> (1 - x) [mm]\produkt_{i=0}^{n}[/mm] (1 + [mm]x^{2^{i}}[/mm] * (1 + [mm]x^{2^{n + 1}}[/mm] ))
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Es muß heißen
...= [mm] \underbrace{(1-x) [\produkt_{i=0}^{n}(1 + x^{2^{i}}) ]}_{Induktionsannahme}* [/mm] (1 + [mm]x^{2^{n + 1}}[/mm] )
>
> was ja nach Induktionsannahme gleich ist wie:
>
> [mm] \red{(}1 [/mm] - [mm]x^{2^{n + 1}}[/mm] [mm] \red{)}* [/mm] (1 + [mm]x^{2^{n + 1}}[/mm] )
>
> nach der dritten binomische Formel kann ich umstellen zu:
>
> [mm]1^{2}[/mm] [mm] -\red{(}x^{2^{(n + 1)}}\red{)}^{2} [/mm] =
1- [mm] x^{2*2^{(n + 1)}}= [/mm] ...
> Was habe ich falsch gemacht?
Paß ein bißchen besser mit Klammern auf.
Im Prinzip hast Du es ganz gut gemacht.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:51 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Ikit |
Danke für die schnelle Antwort. Ich muss da echt mal bischen genauer werden :)
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