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Hallo,
ich muss folgende Summenformel per Induktion beweisen:
[mm] \summe_{i=0}^{n}3^{i} [/mm] = [mm] \bruch{3^{n + 1} - 1}{2}
[/mm]
Induktionsanfang für n = 1 stimmt.
Induktionsvoraussetzung siehe oben.
Induktionsschluss:
[mm] \summe_{i=0}^{n + 1}3^{i} [/mm] = [mm] \bruch{3^{n + 1} - 1}{2} [/mm] + [mm] 3^{n + 1}
[/mm]
dann auf gleichen Nenner bringen:
= [mm] \bruch{3^{n + 1} - 1 + (3^{n + 1} * 2)}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{3^{n + 1} - 1 + (3^{n} * 3^{1} * 2^{1})}{2}
[/mm]
= [mm] \bruch{3^{n + 1} - 1 + (3^{n} * 6)}{2}
[/mm]
und hier komm ich jetzt nicht mehr weiter und im Internet konnte ich zu der geforderten Summenformel auch nichts finden :(
Kann mir jemand weiterhelfen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Super, vielen Dank!
n = 0 habe ich natürlich vergessen aufzuschreiben, der Induktionsanfang stimmt auch für n = 0.
Jetzt habe ich also [mm] \bruch{3 * 3^{n+1} - 1}{2}
[/mm]
aber was mache ich nun damit? Ich weiß nie wann ich bei Summenformeln beim Endergebnis angekommen bin :(
Was muss am Ende denn dastehen? Die Induktionsbehauptung wäre ja [mm] \bruch{3^{n+2} - 1}{2}, [/mm] sehe ich das richtig, dass diese nachher auch als mein Endergebnis dastehen muss?
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Hallo nochmal,
> Super, vielen Dank!
> n = 0 habe ich natürlich vergessen aufzuschreiben, der
> Induktionsanfang stimmt auch für n = 0.
>
> Jetzt habe ich also [mm]\bruch{3 * 3^{n+1} - 1}{2}[/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> aber was
> mache ich nun damit? Ich weiß nie wann ich bei
> Summenformeln beim Endergebnis angekommen bin :(
> Was muss am Ende denn dastehen? Die Induktionsbehauptung
> wäre ja [mm]\bruch{3^{n+2} - 1}{2},[/mm] sehe ich das richtig, dass
> diese nachher auch als mein Endergebnis dastehen muss?
Ja, das siehst du genau richtig!
Gehe mal einen Schritt nach vorne, von der Leitung runter und schaue mal scharf auf den Term ![[lupe]](/images/smileys/lupe.gif "[lupe]") [mm] $3\cdot{}3^{n+1}$
[/mm]
Ich sage nur: Potenzgesetze ...
Gruß
schachuzipus
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Danke für deine superschnelle Hilfe, damit hat sich mein Problem wohl gelöst, den Rest kann ich alleine =)
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![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
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