Vollständige Induktion über n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Fr 02.12.2005 | | Autor: | Nieke |
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Hi!
Ich soll zeigen, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in \IR [/mm] mit 1<x gilt: [mm] x^{1/n} \le [/mm] x.
Ich habe versucht, das mit vollständiger Induktion zu lösen. Das sieht bei mir so aus:
Sei n [mm] \in \IN [/mm] und x [mm] \in \IR [/mm] mit 1 < x.
Induktionsverankerung:
n=1.
[mm] x^{1/1} [/mm] =x [mm] \le [/mm] x
Induktionsannahme:
[mm] x^{1/n} \le [/mm] x
Induktionsbehauptung:
[mm] x^{1/n+1} \le [/mm] x
Induktionsschritt:
[mm] x^{1/n+1} \le x^{1/n} \le [/mm] x
weil n+1 [mm] \le [/mm] n ist bzw. [mm] \wurzel[n+1]{x} \le \wurzel[n]{x} [/mm]
Daraus folgt dann, dass [mm] x^{1/n+1} \le [/mm] x
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand einen Tipp geben kann, ob das richtig ist. Mir kommt es zu einfach vor, ich kann mir nicht vorstellen, dass die Aufgabe damit schon gelöst ist.
Gruß Nieke
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Guten Morgen,
Ich würde nicht sagen, dass Du recht hast, denn Du machst bei deiner Induktion die linke Seite der Ungleichung größer, wenn Du die Induktionsvoraussetzung anwendest....meine Lösung kommt mir aber auch komisch vor, aber ich sende sie mal:
I.A. [mm] x^{\bruch{1}{n}} \le [/mm] x
n->n+1
[mm] x^{\bruch{1}{n+1}} \le [/mm] x
<=> [mm] \bruch{x}{x^{n/n+1}}
[/mm]
<=> [mm] \bruch{xx^{1/n}}{x^{n+1/n}}
[/mm]
Nach IA ist [mm] x^{\bruch{1}{n}} \le [/mm] x , also ersetze ich es im Zähler. Der Bruch wird kleiner auf der linken Seite, die Umformungist also erlaubt.
<=> [mm] x^{2} \le x^{\bruch{2n+1}{n}}
[/mm]
Ein paar Worte zu meiner Idee: [mm] \bruch{1}{n+1} [/mm] gefällt mir nicht, also mach ich daraus [mm] \bruch{1+n-n}{n+1}=\bruch{n+1}{n+1}-\bruch{n}{n+1} [/mm] Diesen Trick wende ich zweimal an, um den Exponenten so umzuformen, dass ich die Induktionsvoraussetzung verwenden kann. Außerdem mache ich nach beim Induktionsschritt
[mm] x^{\bruch{1}{n+1}}= x:x^{n/n+1} [/mm] diese Umformung. Danach oben besagten Trick mit +n-n.....hoffe es stimmt. Ansonsten kannst Du ja mal meine Versuche als Anregungn nehmen.
Gruß
Alex
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