"Vollständige Indunktion" < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:02 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Claudi83 |
Hallo!
Wer kann mir helfen das Prinzip der vollständigen Indunktion auf folgendes Beispiel anzuwenden?
Summe von k=1 bis n 1/k(K*1) = n/n+1 für alle ganzen Zahlen n größer gleich 1
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Summe von k=1 bis n 1/k(K*1) = n/n+1 für alle ganzen
> Zahlen n größer gleich 1
Hallo, gerne würde ich Dir helfen,
aber da oben ist wohl was schief gegangen, da steht ja im Prinzip
[mm] \summe_{k=1}^{n} \bruch{1}{k}k. [/mm] Das ist bestimmt nicht gemeint.
Gruß v. Angela
Vielleicht versuchst du's nochmal?
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Hallo Claudi,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Wo genau liegt denn das Problem? Allgemein bei der vollständigen Induktion, beim Induktionsschritt?
Wie sehen denn deine eigenen Lösungsasnätze aus?
Das gehört nämlich zu unseren Forenregeln ...
Du meinst doch sicher ...
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k\red{+}1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{n+1}$
[/mm]
Ich beginne einfach mal, und Du machst dann weiter, okay?
Induktionsbeginn für n=1:
[mm] $\summe_{k=1}^{n=1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1*(1+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$
[/mm]
[mm] $\bruch{n}{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{1+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{2}$ [/mm] ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Induktionsvoraussetzung für n:
[mm] $\summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n}{n+1}$
[/mm]
Induktionsbehauptung für n+1:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1}{(n+1)+1} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{n+1}{n+2}$
[/mm]
Induktionsschritt n [mm] $\rightarrow$ [/mm] n+1:
[mm] $\summe_{k=1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] \ = \ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] + [mm] \summe_{k=n+1}^{n+1}\bruch{1}{k*(k+1)}$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)*[(n+1)+1]}$
[/mm]
$= \ [mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)*(n+2)}$
[/mm]
Nun setzen wir für den ersten Term unsere Induktionsvoraussetzung ein:
$= \ [mm] \bruch{n}{n+1} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)*(n+2)} [/mm] \ = \ ...$
Diese beiden Brüche nun einfach zusammenfassen bis Du unsere Induktionsbehauptung erhältst. Das schaffst Du jetzt aber alleine, oder?
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:07 Fr 01.07.2005 | | Autor: | Claudi83 |
Hi!
Ich kann die einzelnen Schritte schon nachvollziehen, habe aber noch kein grundlegendes Wissen über die vollständige Indunktion! Kann mir da jemand helfen?
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
MatheBank: Vollständige Induktion![[]](/images/popup.gif){kind=small}
Wikipedia: Vollständige Induktion