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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:51 So 15.11.2009 | | Autor: | aga88 |
| Aufgabe | | Zeigen Sie durch vollständige Induktion, dass 1/ (1*2)+ 1/(2*3)+1/(3*4)+...+1/(n*(n+1)= n/ (n+1) für jeden Wert von n Element IN gilt. |
Hallo! Ich verstehe im Allgemeinen die vollständige Induktion jedoch komme ich nicht ganz voran. Den Induktionsanfang n=1 habe ich bereits bewiesen. ´Die Induktionsvoraussetzung habe ich aufgestellt also (n+1) auf beiden Seiten addieren weiß ich auch. Aber genau da bleibe ich stecken. Ich weiß nicht genau wie ich z.b. (n/(n+1)) + (n+1) berechnen kann. Kann mir jemand helfen? Oder iwie nen Tipp geben?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
also du sollst zeigen, dass
[mm] \sum_{k=1}^{n}\bruch{1}{k*(k+1)}=\bruch{n}{n+1}, [/mm] für alle [mm] n\in\IN
[/mm]
> Hallo! Ich verstehe im Allgemeinen die vollständige
> Induktion jedoch komme ich nicht ganz voran. Den
> Induktionsanfang n=1 habe ich bereits bewiesen. ´Die
> Induktionsvoraussetzung habe ich aufgestellt also (n+1) auf
> beiden Seiten addieren weiß ich auch.
Hier liegt sicher dein Fehler. Du sollst nicht auf beiden Seiten (n+1) addieren:
Induktionsschritt: [mm] n\to{n+1}
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{\red{n+1}}\bruch{1}{k*(k+1)}=\sum_{k=1}^{\red{n}}\bruch{1}{k*(k+1)}+\bruch{1}{\red{(n+1)}*(\red{(n+1)}+1)}=....
[/mm]
Jetzt kannst du die Induktionsvoraussetzung nutzen! Hast du deinen Fehler erkannt?
Gruß
barsch
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:09 So 15.11.2009 | | Autor: | aga88 |
Erst einmal danke für die schnelle Reaktion:).
Aber: Ich weiß es immer noch nicht. Stelle mich ein bisschen blöd an :(
ich muss unter dem Bruchstrich zusammenfassen oder? also ...+ 1/ (n+1)* (n+2)
und dann (n+1) ausklammern? Aber wie?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:21 So 15.11.2009 | | Autor: | barsch |
Hi,
$ [mm] \sum_{k=1}^{\red{n+1}}\bruch{1}{k\cdot{}(k+1)}=\sum_{k=1}^{\red{n}}\bruch{1}{k\cdot{}(k+1)}+\bruch{1}{\red{(n+1)}\cdot{}(\red{(n+1)}+1)}=.... [/mm] $
soweit klar?
Dann weißt du doch nach IV:
[mm] \sum_{k=1}^{\red{n+1}}\bruch{1}{k\cdot{}(k+1)}=\underbrace{\sum_{k=1}^{\red{n}}\bruch{1}{k\cdot{}(k+1)}}_{\red{=\bruch{n}{n+1}}}+\bruch{1}{\red{(n+1)}\cdot{}(\red{(n+1)}+1)}=\bruch{n}{n+1}+\bruch{1}{\red{(n+1)}\cdot{}(\red{(n+1)}+1)}=...=\bruch{(n+1)}{(n+1)+1}
[/mm]
Das ist doch dein Ziel! Also musst du noch ein wenig umformen, um dieses Ergebnis zu erhalten.
Klarer?
Gruß
barsch
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:38 So 15.11.2009 | | Autor: | aga88 |
ach ja okay danke. Jetzt ist es viel klarer :)
Vielen lieben Dank
gruß
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