Vollständiger Induktionsbeweis < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Es seien a, q [mm] \in \IR, [/mm] q [mm] \not= [/mm] 1 und n [mm] \in \IN [/mm] (mit 0). Beweisen Sie durch vollständige Induktion
[mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] a [mm] q^k [/mm] = a [mm] \bruch{1 - q^(n+1)}{1 - q}
[/mm]
Welchen Wert hat die Summe (die auf der linken Seite steht) für q=1 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Also mein Ansatz wäre, das a erstmal auf beiden Seiten auszuklammern?!
Der Induktionsanfang wäre ja n=0
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Hallo,
deine Identität ist auf der rechten Seite falsch (ein Tippfehler: du musst ein geschweiftes KLlammernpaar um den Exponenten setzen:
> Es seien a, q [mm]\in \IR,[/mm] q [mm]\not=[/mm] 1 und n [mm]\in \IN[/mm] (mit 0).
> Beweisen Sie durch vollständige Induktion
>
> [mm]\summe_{k=0}^{n}[/mm] a [mm]q^k[/mm] = a [mm]\bruch{1 - q^{(n+1)}}{1 - q}[/mm]
>
Davon sprechn wir.
> Also mein Ansatz wäre, das a erstmal auf beiden Seiten
> auszuklammern?!
Auf jeden Fall!
> Der Induktionsanfang wäre ja n=0
Genau. Und für n=0 steht da einfach
a=a
womit der Induktionsanfang gezeigt ist. Sagt dir Geometrische Reihe etwas? Darum geht es hier.
Du musst jetzt also den Induktiosnsschluss durchführen.
Die letzte Frage (also was für q=1) passiert, löst man dann eher durch Nachrechnen der Summe...
Gruß, Diophant
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| Aufgabe | Dann würde nach dem Ausklammern das a auf der linken Seite vor dem Summenzeichen stehen und rechts eine Klammer und den Bruch stehen?!
a [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = a [mm] \left( \bruch{1-q^\left\{n+1\right\}}{1-q} \right) [/mm] |
Bei der Induktionsvoraussetzung schreibe ich dann nur die Gleichung ab und ersetze das n durch einen anderen Buchstaben, zum Beispiel m?!
Die Induktionsbehauptung ergibt sich durch das einsetzen von (n+1) für jedes n in der Ausgangsgleichung.
Aber beim Beweis bräuchte ich dann mal Hilfe. Da fehlt mir der Anfang!
Vielen Dank
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Hi!
> Dann würde nach dem Ausklammern das a auf der linken Seite
> vor dem Summenzeichen stehen und rechts eine Klammer und
> den Bruch stehen?!
>
> a [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] = a [mm]\left( \bruch{1-q^\left\{n+1\right\}}{1-q} \right)[/mm]
>
> Bei der Induktionsvoraussetzung schreibe ich dann nur die
> Gleichung ab und ersetze das n durch einen anderen
> Buchstaben, zum Beispiel m?!
In der Übung habt ihr doch sicherlich dieses Schema aufgeschrieben.
Also:
Induktionsanfang: n=1 bzw. hier n=0, da die Null dabei sein soll
Induktionsvoraussetzung: [mm]A(n)[/mm] gelte für ein [mm]n\in \IN[/mm] fest.
Induktionsschluss: [mm]A(n)\to A(n+1)[/mm]
> Die Induktionsbehauptung ergibt sich durch das einsetzen
> von (n+1) für jedes n in der Ausgangsgleichung.
Nein, der Induktionsschluss.
Also:
Im Induktionsschluss ist dann also z.Z. A(n+1):
[mm]a\summe_{k=0}^{n+1} q^k=a\left( \bruch{1-q^\left\{(n+1)+1\right\}}{1-q} \right)=a\left( \bruch{1-q^\left\{(n+2\right\}}{1-q} \right)[/mm]
Jetzt musst du die Summe auf der linken Seite aufspalten und danach die
Induktionsvoraussetzung [mm]a\summe_{k=0}^{n} q^k=a\left( \bruch{1-q^\left\{n+1\right\}}{1-q} \right)[/mm]
ausnutzen
Valerie
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| Aufgabe | Induktionsanfang: n=0
nach Einsetzen in linke und rechte Seite: a=a
Ind.behauptung: a [mm] \summe_{k=0}^{n+1} q^k [/mm] = a [mm] \left( \bruch{1-q^\left\{n+2\right\}}{1-q} \right)
[/mm]
Induktionsvoraussetzung: a [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] = a [mm] \left( \bruch{1-q^\left\{n+1\right\}}{1-q} \right)
[/mm]
Beweis:
a [mm] \summe_{k=0}^{n+1} q^k [/mm] = a [mm] \summe_{k=0}^{n} q^k [/mm] + (n+1) ? |
Wenn das soweit stimmt kann ich dann ja die Induktionsvoraussetzung nutzen.
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> Induktionsanfang: n=0
> nach Einsetzen in linke und rechte Seite: a=a
>
> Ind.behauptung: a [mm]\summe_{k=0}^{n+1} q^k[/mm] = a [mm]\left( \bruch{1-q^\left\{n+2\right\}}{1-q} \right)[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung: a [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] = a [mm]\left( \bruch{1-q^\left\{n+1\right\}}{1-q} \right)[/mm]
>
> Beweis:
> a [mm]\summe_{k=0}^{n+1} q^k[/mm] = a [mm]\summe_{k=0}^{n} q^k[/mm] + (n+1)
Hallo,
das stimmt natürlich nicht.
Es ist doch
a [mm] $\summe_{k=0}^{n+1} q^k$ [/mm] = a [mm] $\summe_{k=0}^{n} q^k$ [/mm] + [mm] aq^{n+1}.
[/mm]
Und nun kommt die Induktionsveoraussetzung ins Spiel.
LG Angela
> ?
> Wenn das soweit stimmt kann ich dann ja die
> Induktionsvoraussetzung nutzen.
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| Aufgabe | a [mm] \summe_{k=0}^{n} [/mm] = a [mm] \left( \bruch{1-q^\left\{ n+1 \right\}}{1-q} \right) [/mm] + [mm] aq^\left\{ n+1 \right\}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-q^{ n+1} + q^{ n+1} - q^{ n+2}}{1-q}
[/mm]
= [mm] \bruch{1-q^\left\{ n+2 \right\}}{1-q} [/mm] |
Was mach ich mit dem a? ist es (abgesehen von dem a) soweit richtig?
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> a [mm] \summe_{k=0}^{n+1}\red{q^k} [/mm] = a [mm]\left( \bruch{1-q^\left\{ n+1 \right\}}{1-q} \right)[/mm] + [mm]aq^\left\{ n+1 \right\}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1-q^{ n+1} + q^{ n+1} - q^{ n+2}}{1-q}[/mm]
>
> = [mm]\bruch{1-q^\left\{ n+2 \right\}}{1-q}[/mm]
>
>
> Was mach ich mit dem a? ist es (abgesehen von dem a) soweit
> richtig?
Hallo,
wäre [mm] \summe_{k=0}^{n+1}q^k [/mm] gefragt, so wäre es richtig.
Das a darfst Du natürlich nicht einfach weglassen nach Lust und Laune.
Richtig wäre etwa
a [mm] \summe_{k=0}^{n+1}q^k [/mm] = a [mm]\left( \bruch{1-q^\left\{ n+1 \right\}}{1-q} \right)[/mm] + [mm]aq^\left\{ n+1 \right\}[/mm]
>
= [mm]\bruch{a*(1-q^{ n+1}) +a*q^{ n+1} - a*q^{ n+2})}{1-q}[/mm]
>
= [mm]\bruch{a*1-a*q^\left\{ n+2 \right\}}{1-q}[/mm]
= [mm]a*\bruch{1-q^\left\{ n+2 \right\}}{1-q}[/mm]
LG Angela
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