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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass die Familie der
a) Binomialverteilungen [mm] \{B_{n,p}, p \in [0,1]\} [/mm] für jedes feste n [mm] \in \IN
[/mm]
b) Poissonverteilungen [mm] \{P_\lambda, \lambda > 0\}
[/mm]
c) Gammaverteilungen [mm] \{\Gamma(n,\lambda), \lambda > 0\} [/mm] für jedes n [mm] \in \IN
[/mm]
vollständig ist. |
Wir haben in der VL nur ein Beispiel gehabt, bei dem wir gezeigt haben, dass eine Statistik vollständig bzgl. einer Verteilungsfamilie ist (und Vollständigkeit auch nur so definiert). Was bedeutet die Vollständigkeit einer Familie?
Der Ansatz für eines der Beispiele würde mir vermutlich schon helfen.
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:23 Di 01.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin chimneytop,
frohes neues Jahr!
Ich betrachte mal den Fall der Poissonverteilung. Es gelte also
[mm] $P(T=t)=\lambda^t\exp(-\lambda)/t!$ [/mm] fuer $t=0,1,2,...$ und 0 sonst. Zu
zeigen ist, dass aus
[mm] $\operatorname{E}[z(T)]=\sum_{t=0}^\infty z(t)\lambda^t\exp(-\lambda)/t!=0$ [/mm]
folgt $z(t)=0$ fuer $t=0,1,2,...$.
Dass [mm] $\operatorname{E}[z(T)]$ [/mm] berechnet werden kann, impliziert [mm] $\sum_{t=0}^\infty |z(t)|\lambda^t\exp(-\lambda)/t!<\infty$.
[/mm]
Das bedeutet, dass die Funktion [mm] $g(\lambda):=\sum_{t=0}^\infty z(t)\lambda^t\exp(-\lambda)/t!$, $\lambda\in\IR$, [/mm]
Ableitungen aller Ordnungen hat. Zunaechst ist $0=g(0)=z(0)/0!=z(0)$.
Weiter ist [mm] $g'(\lambda)=\sum_{t=1}^\infty z(t)\lambda^{t-1}\exp(-\lambda)/(t-1)!$,
[/mm]
also $0=g'(0)=z(1)/(1-1)!=z(1)$ usw.
vg
Luis
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Danke für deine Antwort. Der Beweisvorgang ist mir im Wesentlichen klar.
Ich weiß, dass [mm] g(\lambda) [/mm] nach Vorraussetzung konstant 0 ist, folglich auch alle Ableitungen. Dann zeige ich (wenn ichs richtig verstanden hab) mit
[mm] 0=\bruch{\partial^n}{\partial \lambda}g(\lambda)=z(n), [/mm] dass z(x)=0 für alle x [mm] \in \IN.
[/mm]
Frage 1: Ist das soweit richtig.
Frage 2: Warum ist [mm] g'(\lambda)=\sum_{t=1}^\infty z(t)\lambda^{t-1}\exp(-\lambda)/(t-1)! [/mm] ?
Hab mir überlegt:
[mm] g'(\lambda)=\sum_{t=1}^\infty z(t)\bruch{\lambda^{t-1}}{t!}e^{-\lambda}*(t-\lambda)=
[/mm]
[mm] =\sum_{t=0}^\infty z(t)\bruch{\lambda^{t-1}}{(t-1)!}e^{-\lambda}-z(t)\bruch{\lambda^{t}}{t!}e^{-\lambda}=
[/mm]
[mm] =\sum_{t=0}^\infty z(t)\bruch{\lambda^{t-1}}{(t-1)!}e^{-\lambda}-0=
[/mm]
[mm] =\sum_{t=0}^\infty z(t)\bruch{\lambda^{t-1}}{(t-1)!}e^{-\lambda}.
[/mm]
Stimmt das und wenn ja wie sieht man, dass die Summe bei 1 beginnen sollte.
Dann könnte ich doch sagen:
[mm] g'(\lambda)=\sum_{t=1}^\infty z(t)\bruch{\lambda^{t-1}}{(t-1)!}e^{-\lambda}=
[/mm]
[mm] =\sum_{t=0}^\infty z(t)\bruch{\lambda^{t}}{t!}e^{-\lambda}=g(\lambda) [/mm] und somit, dass alle Ableitungen gleich sind.
Hab ich das richtig verstanden???
Vielen Dank!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:46 So 06.01.2008 | | Autor: | luis52 |
Moin chimneytop,
bei meiner Herleitung habe ich etwas geschlampt, indem ich den Faktor
[mm] $\exp[-\lambda]$ [/mm] uebersehen habe. Letztendlich geht es naemlich nur um
die Funktion $ [mm] g(\lambda):=\sum_{t=0}^\infty z(t)\lambda^t/t! [/mm] $, [mm] $\lambda\in\IR [/mm] $, da stets [mm] $\exp[-\lambda]\ne [/mm] 0$.
Dann musst du dich auch nicht mehr mit der Produktregel herumaergern.
Ich hoffe, es wird nun klarer.
vg
Luis
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Danke, ist jetzt klar.
Nur: muss ich für die Lösung dann nicht [mm] 0^0=1 [/mm] vorraussetzen?
Lassen sich die anderen beiden Beispiele auch mit diesem Ansatz lösen? Habs bei der Binomialvert. versucht, komm aber auf nichts Vernünftiges.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 So 06.01.2008 | | Autor: | luis52 |
> Danke, ist jetzt klar.
>
> Nur: muss ich für die Lösung dann nicht [mm]0^0=1[/mm]
> vorraussetzen?
Ja, aber das ist bei Potenzreihen die Regel.
>
> Lassen sich die anderen beiden Beispiele auch mit diesem
> Ansatz lösen? Habs bei der Binomialvert. versucht, komm
> aber auf nichts Vernünftiges.
Zum wiederholten Mal:
Introduction to the Theory of Statistics (McGraw-Hill Series in
Probability and Statistics) (Hardcover) by Alexander McFarlane Mood
(Author), Franklin A. Graybill (Author), Duane C. Boes
empfohlen. Schau dort mal auf Seite 324-325.
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(Korrektur) richtig (detailiert geprüft)  | | Datum: | 11:10 Mo 07.01.2008 | | Autor: | chimneytop |
Danke!
Inzwischen steht das gute Buch eh schon bei mir im Regal. Muss das Bsp. irgendwie überblättert haben.
Is jetzt aber klar.
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http://www.stat.ubc.ca/~jhchen/stat460/Assign5_sol.pdf