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| Aufgabe | | Sei [mm] (x_j)_{j\in \IN} [/mm] eine monotone steigende nach oben beschränkte Folge reeller Zahlen. Dann [mm] \exists lim_{j->\infty} x_i [/mm] = [mm] sup\{x_j, j \in \IN\} [/mm] |
Hallo
Der Beweis:
Sei S = [mm] sup\{x_j : j \in \IN \}
[/mm]
[mm] \epsilon>0 [/mm] beliebig , Da S = [mm] sup\{x_j : j \in \IN \} [/mm] gibt es ein N mit [mm] x_n [/mm] > S - [mm] \epsilon
[/mm]
Da [mm] x_j [/mm] monoton steigend ist, ist also
S- [mm] \epsilon
also |S - [mm] x_j| [/mm] =S - [mm] x_j [/mm] < [mm] \epsilon
[/mm]
Meine Frage:
Wie schliese ich aus der Ungleichung
S- [mm] \epsilon [/mm] < [mm] x_n [/mm] <= [mm] x_j [/mm] <= S
dass |S - [mm] x_j|< \epsilon [/mm] ?
Liebe Grüße
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Hallo,
das ganze wird im Prinzip einfach ein wenig umgeformt. Die Ungleichungskette [mm] -\epsilon+x_j [/mm] ergibt schon das gewünschte.
Gruß, Diophant
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:07 Do 04.10.2012 | | Autor: | fred97 |
Du hast
S- $ [mm] \epsilon [/mm] $ < $ [mm] x_j [/mm] $ [mm] \le [/mm] S < S + $ [mm] \epsilon [/mm] $
also
S- $ [mm] \epsilon [/mm] $ < $ [mm] x_j [/mm] $ < S + $ [mm] \epsilon [/mm] $
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Do 04.10.2012 | | Autor: | theresetom |
achso danke ;=)
Liebe Grüße
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