Vollstandige Induktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Rob64 |
| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n}k³ [/mm] = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}
[/mm]
für alle nN gilt |
Mein Lösungsansatz:
[mm] \bruch{n³(n+1)³}{2³} [/mm] + (n+1)³ = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{n³(n+1)³}{8} [/mm] + [mm] \bruch{8(n+1)³}{8} [/mm] = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}
[/mm]
Weiter komme ich leider nicht !
Bitte um Hilfe !
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Hallo Rob64,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Zeigen sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n}k³[/mm] = [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}[/mm]
>
> für alle nN gilt
Also ich nehme jetzt an, daß du den Induktionsanfang bereits gemacht hast?
> Mein Lösungsansatz:
>
> [mm]\bruch{n³(n+1)³}{2³}[/mm] + (n+1)³
Hier hast du dich mit den Exponenten vertan. Die Idee ist dennoch richtig. (Ich nehme an, du hast den Anfang des Induktionsschritts und die Anwendung der Induktionsannahme bewußt weggelassen?). Also setze das Obige mal fort aber mit richtigen Exponenten:
[mm]\frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3[/mm]
Klammere [mm](n+1)^2[/mm] aus. Danach klammere noch [mm]\tfrac{1}{4}[/mm] aus und wende die erste binomische Formel ("rückwärts") an.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:10 Fr 10.11.2006 | | Autor: | Rob64 |
> (Ich nehme an, du hast den Anfang des Induktionsschritts > und die Anwendung der Induktionsannahme bewußt
> weggelassen?).
Nein eigentlich nicht :-(
Mein Induktionsanfang:
(ich hoffe er ist richtig)
1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³
n = 1 1³= [mm] \bruch{1(1+1)²}{4}
[/mm]
1³= [mm] \bruch{4}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}+ [/mm] (n+1)³
[mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}+ \bruch{4(n+1)³}{4}
[/mm]
[mm] \bruch{n^{4}+n²}{4}+ \bruch{4n³+4}{4}
[/mm]
Weiter komme ich leider nicht
Bin mir nicht sicher ob ich richtig ausgeklammert habe
weil die Binomische Formel kann ich darauf noch nicht anwenden. Oder hab ich was übersehen ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:42 Fr 10.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo rob
> Mein Induktionsanfang:
> (ich hoffe er ist richtig)
>
> 1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³
>
> n = 1 1³= [mm]\bruch{1(1+1)²}{4}[/mm]
>
> 1³= [mm]\bruch{4}{4}[/mm]
Jetzt käme: Induktionsvors:
[mm] \summe_{k=1}^{n}k^3=\bruch{n²(n+1)²}{4}
[/mm]
daraus zu zeigen :
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}k^3=\bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}
[/mm]
> [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}+[/mm] (n+1)³
aus der In. Vors muss folgen
[mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}+n+1^3=\bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}
[/mm]
>
> [mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}+ \bruch{4(n+1)³}{4}[/mm]
> [mm]\bruch{n^{4}+n²}{4}+ \bruch{4n³+4}{4}[/mm]
Ich nehme an, hier sollte ein Gleichheitszeichen zur nächsten Zeile stehen? dann wäre das falsch. es sieht so aus, als hättest du [mm] (n+1)^2=n^2+1 [/mm] Und [mm] (n+1)^3=n^3+1 [/mm] gerechnet, was schlimm wäre!
ausklammern nennt man, wenn man aus 2 Summanden denselben Faktor, hier [mm] (n+1)^2 [/mm] vor ne Klammer zieht!
also:
[mm]\bruch{n²(n+1)²}{4}+ \bruch{4(n+1)³}{4}=(n+1)^2*(\bruch{n^2}{4}+\bruch{4*(n+1)}{4})[/mm]
>
Jetzt solltest du durchkommen.
Wenn man sowas nicht sieht mit dem Ausklammern rechnet man einfach die linke und rechte Seite der Behauptung aus, d.h. alle Klammern auflösen .
[mm] \bruch{n²(n+1)²}{4}+n+1^3=\bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}
[/mm]
links ausrechnen, rechts ausrechnen muss dasselbe rauskommen! Dazu muss man die Induktionsbehauptung aber erst mal hinschreiben!
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:38 Sa 11.11.2006 | | Autor: | Rob64 |
| Aufgabe | Zeigen sie mit Hilfe vollständiger Induktion, dass
[mm] \summe_{i=1}^{n}k³ [/mm] = [mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm]
für alle nN gilt |
Zur besseren Übersicht die Rechnung von Anfang an.
Induktions Anfang:
1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³
n = 1 1³= [mm] \bruch{1(1+1)²}{4} [/mm]
1³= [mm] \bruch{4}{4} [/mm]
Induktionvors.
[mm] \summe_{i=1}^{n}k³= \bruch{n²(n+1)²}{4}
[/mm]
Daraus zu Zeigen
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}k³= \bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}
[/mm]
Daraus Folgt
[mm] \bruch{n²(n+1)²}{4} [/mm] + (n+1)³ = [mm] \bruch{(n+1)²(n+2)²}{4}
[/mm]
Zitat: links ausrechnen, rechts ausrechnen muss dasselbe rauskommen
[mm] \bruch{n²(n²+2n+1)+4(n³+3n²+3n+1)}{4} [/mm] = [mm] \bruch{(n²+2n+1)(n²+4n+4)}{4}
[/mm]
[mm] n^{4}+2n³+n²+4n³+12n²+12n+4 [/mm] = [mm] n^{4}+4n³+2n²+2n³+8n²+8n+n²+4n+4
[/mm]
12n²+7n = 8n²+12n
Was mach ich falsch ?
Warum werden sie Seiten nicht gleich ?
Versuche es schon seit Stunden ohne Erfolg
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Hallo Rob64,
> [mm]\bruch{n^2(n+1)^2}{4}[/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm]\bruch{(n+1)^2(n+2)^2}{4}[/mm]
Mache es dir nicht so schwer. Sondern benutze doch den Tipp, den ich dir gegeben habe. Schau dir den linken Term noch einmal genau an:
[mm]\frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^3 = \frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^{2+1}[/mm]
Nun benutze das Potenzgesetz [mm]a^{b+c} = a^ba^c[/mm]:
[mm]\frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^{2+1} = \frac{n^2\textcolor{blue}{(n+1)^2}}{4} + \textcolor{blue}{(n+1)^2}(n+1)[/mm]
Und jetzt benutze das Distributivgesetz und die 1te binomische Formel...
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:05 So 12.11.2006 | | Autor: | Rob64 |
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> [mm]\frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^{2+1} = \frac{n^2\textcolor{blue}{(n+1)^2}}{4} + \textcolor{blue}{(n+1)^2}(n+1)[/mm]
>
>
> Und jetzt benutze das Distributivgesetz und die 1te
> binomische Formel...
Wenn ich das richtig verstehe soll ich jetzt die binomische Formel und das Distributivgesetz anwenden - das sieht dann bei mir so aus:
[mm] \bruch{n²(n²+2n+n)}{4}+(n²+2n+n)(n+1)
[/mm]
Ist das soweit richtig?
Wie soll das jetzt weiter gehen?
Wenn ich die Klammern jetzt auflöse bekomme ich nichts sinnvolles heraus...
Sorry dass ich nerve, aber ich verstehs noch immer nicht
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:34 So 12.11.2006 | | Autor: | leduart |
Hallo
Irgendwie rechnest du nie weiter, und ausgeklammert hast du auch nicht:
[mm]\frac{n^2(n+1)^2}{4} + (n+1)^{2+1} = \frac{n^2\textcolor{blue}{(n+1)^2}}{4} + \textcolor{blue}{(n+1)^2}(n+1)[/mm]
also [mm] =\bruch{(n+1)^2}{4}*(n^2+4n+4)
[/mm]
und die letzte Klammer solltest du jetzt als [mm] (n+2)^2 [/mm] erkennen und dann bist du fertig.
Gruss leduart
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