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| Aufgabe | Berechnen Sie das Volumen der durch folgende Flächen
begrenzten Mengen des [mm] \IR^{3} [/mm] :
a) x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0 |
wie kann ich denn hier das Volumen berechnen, kann mir jemand behilflich sein?
Vielen Dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Mo 28.11.2011 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Die Menge die hier als Ebene x+y+z=1 aufgefasst werden kann schneidet die x-Achse in [mm] S_{x}(1;0;0) S_{y}(0;1;0) [/mm] und [mm] S_{z}(0;0;1)
[/mm]
Das ganze ergibt also eine Pyramind mit der Ebene E als Grundfläche und dem Ursprung als Spitze.
Also kann man diese Ebene auch als Parameterform auffassen.
[mm] E:\vektor{x\\y\\z}=\vektor{1\\0\\0}+\lambda\cdot\left(\vektor{0\\1\\0}-\vektor{1\\0\\0}\right)+\mu\cdot\left(\vektor{0\\0\\1}-\vektor{1\\0\\0}\right)
[/mm]
[mm] =\vektor{1\\0\\0}+\lambda\cdot\vektor{-1\\1\\0}+\mu\cdot\vektor{-1\\0\\1}
[/mm]
Mit [mm] A=\frac{1}{2}\cdot\left|\vektor{-1\\1\\0}\times\vektor{-1\\0\\1}\right| [/mm] kannst du die Grundfläche der Pyramide berechnen.
Für die Höhe konstruiere mal folgende Hilfsgerade h:
[mm] g:\vec{x}=\vec{0}+\nu\cdot\vec{n}, [/mm] vobei [mm] \vec{n} [/mm] der Normalenvektor der Ebene E ist, hier also [mm] \vec{n}=\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
.
Somit gilt:
[mm] g:\vec{x}=\vektor{0\\0\\0}+\nu\cdot\vektor{1\\1\\1}=\nu\cdot\vektor{1\\1\\1}
[/mm]
Schneide diese Gerade g nun mit E, und du bekommst den Höhenfußpunkt P. Die Länge des Vektors [mm] \overrightarrow{0P} [/mm] ist dann die Höhe h deiner Pyramide.
Für Das Volumen der Pyramide gilt nun:
[mm] V=\frac{A\cdot h}{3}
[/mm]
Marius
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:00 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Berechnen Sie das Volumen der durch folgende Flächen
> begrenzten Mengen des [mm]\IR^{3}[/mm] :
> a) x + y + z = 1, x = 0, y = 0, z = 0
> wie kann ich denn hier das Volumen berechnen, kann mir
> jemand behilflich sein?
> Vielen Dank
Da Du im Analysis - Forum die Frage gestellt hast, nehme ich an, Ihr sollt die Aufgabe mit Integralen lösen.
Sei [mm] $P=\{(x,y,z): x \ge 0,y \ge 0, z \ge 0\}$ [/mm] . Marius hat Dir schon gesagt, wie P aussieht.
Das Volumen V von P bekommst Du mit
[mm] $V=\integral_{P}^{}{1* d(x,y,z)}= \integral_{\Delta}^{}{(\integral_{0}^{1-x-y}{1* dz)} d(x,y)}$,
[/mm]
wobei [mm] $\Delta=\{(x,y): x \ge 0,y \ge 0\}$
[/mm]
FRED
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