Volumen (3-fach Integral) < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimme das Volumen des Körpers, der durch die Kugel [mm] x^2+y^2+z^2=2 [/mm] und den Kegel [mm] z^2=x^2+y^2 [/mm] begrenzt wird.
Hinweis: Eine Zeichnung kann bei der geeigneten Beschreibung des Körpers, der Wahl der Integrationsgrenzen und nicht zuletzt einer geeigneten Koordinatentransformation hilfreich sein. |
Hi,
wir bearbeiten gerade diese Aufgabe und haben Probleme die Grenzen für das benötigte 3-fach Integral zu bestimmen :/
Muss man hier Kugelkoordinaten einführen, weil in der Aufgabe von einer Kugel gesprochen wird?
Mit welchem Programm können wir das zeichnen lassen?
Mfg,
M.G.
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Hallo,
> Bestimme das Volumen des Körpers, der durch die Kugel
> [mm]x^2+y^2+z^2=2[/mm] und den Kegel [mm]z^2=x^2+y^2[/mm] begrenzt wird.
> Hinweis: Eine Zeichnung kann bei der geeigneten
> Beschreibung des Körpers, der Wahl der Integrationsgrenzen
> und nicht zuletzt einer geeigneten Koordinatentransformation hilfreich sein.
> Hi,
> wir bearbeiten gerade diese Aufgabe und haben Probleme die
> Grenzen für das benötigte 3-fach Integral zu bestimmen :/
>
> Muss man hier Kugelkoordinaten einführen, weil in der
> Aufgabe von einer Kugel gesprochen wird?
Es ist sinnvoll, das zu tun.
>
> Mit welchem Programm können wir das zeichnen lassen?
Am besten ihr überlegt selbst, wie es gezeichnet werden kann. Eine Kugel mit Mittelpunkt 0 und ein auf der Spitze stehender (Doppel-)Kegel...
Hier wurde übrigens vor kurzem eine ganz ähnlich Aufgabe besprochen.
LG
>
>
> Mfg,
>
> M.G.
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Hm, irgendwie will es bei mir noch nicht ganz hinhauen...
Die Grenze für r soll bei [mm] [0;\sqrt{2}] [/mm] liegen. Setze ich aber meine Kegelgleichung in meine Kugelgleichung ein, bekomme ich [mm] x^2+y^2+x^2+y^2=2 \gdw x^2+y^2=1 [/mm] und das wäre für mich ein Radius von 1...
Den Winkel [mm] \theta [/mm] habe ich mit [mm] [0,25\pi; 3/4\pi] [/mm] meine ich richtig ermittelt.
Bleibt noch [mm] \phi [/mm] übrige, der soll wohl von [0; [mm] 2\pi] [/mm] gehen, aber wie man darauf kommt??
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Hallo,
> Hm, irgendwie will es bei mir noch nicht ganz hinhauen...
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> Die Grenze für r soll bei [mm][0;\sqrt{2}][/mm] liegen. Setze ich
> aber meine Kegelgleichung in meine Kugelgleichung ein,
> bekomme ich [mm]x^2+y^2+x^2+y^2=2 \gdw x^2+y^2=1[/mm] und das wäre für mich ein Radius von 1...
Die Rechnung stimmt.
Aber der Wert von [mm] x^2+y^2 [/mm] sagt nichts über den Radius aus. Es gilt [mm] r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}=\sqrt{2}.
[/mm]
>
> Den Winkel [mm]\theta[/mm] habe ich mit [mm][0,25\pi; 3/4\pi][/mm] meine ich richtig ermittelt.
Was ist [mm] \theta [/mm] ?
>
> Bleibt noch [mm]\phi[/mm] übrige, der soll wohl von [0; [mm]2\pi][/mm]
> gehen, aber wie man darauf kommt??
Was ist [mm] \phi [/mm] ?
Am besten Du schreibst die Abbildung für deine Parametrisierung einmal vollständig hin.
LG
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Also ich benutze die Transformation:
[mm] x=r*cos(\phi)*sin(\theta)
[/mm]
[mm] y=r*sin(\phi)*sin(\theta)
[/mm]
[mm] z=r*cos(\theta)
[/mm]
Setze ich in den Kegel diese Koordinaten ein, erhalte ich ja gerade [mm] r^2*sin^2(\theta)=r^2*cos^2(\theta) \gdw tan(\theta)=\pm1
[/mm]
Also: [mm] \pi/4 \le \theta \le 3/4\pi
[/mm]
Es soll gelten: [mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\pi/4}^{3/4\pi}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2*sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}
[/mm]
Ich habe ja ne Kugel gegeben mit Radis [mm] \w{2}, [/mm] welche den Mittelpunkt im Ursprung hat und diese wird von einem Kegel geschnitten, der seine Spitze im Ursprung hat.
Wie man daraus jetzt aber auf die anderen beiden Grenzen schließt, ist mir ein Rätsel...
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Hallo,
> Also ich benutze die Transformation:
>
> [mm]x=r*cos(\phi)*sin(\theta)[/mm]
> [mm]y=r*sin(\phi)*sin(\theta)[/mm]
> [mm]z=r*cos(\theta)[/mm]
>
>
> Setze ich in den Kegel diese Koordinaten ein, erhalte ich
> ja gerade [mm]r^2*sin^2(\theta)=r^2*cos^2(\theta) \gdw tan(\theta)=\pm1[/mm]
>
> Also: [mm]\pi/4 \le \theta \le 3/4\pi[/mm]
Überlege dir mal geometrisch, was dieser Parameterbereich bedeutet.
Es muss gelten [mm] 0\le\theta\le\pi/4 [/mm] für den Kegel mit positiver z-Koordinate
und [mm] -1/4\pi\le\theta\le0 [/mm] für den Kegel mit negativer z-Koordinate (sollt ihr diesen mit in die Rechnungen einbeziehen?).
LG
>
>
> Es soll gelten:
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\pi/4}^{3/4\pi}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2*sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}[/mm]
>
>
> Ich habe ja ne Kugel gegeben mit Radis [mm]\w{2},[/mm] welche den
> Mittelpunkt im Ursprung hat und diese wird von einem Kegel
> geschnitten, der seine Spitze im Ursprung hat.
> Wie man daraus jetzt aber auf die anderen beiden Grenzen
> schließt, ist mir ein Rätsel...
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> Überlege dir mal
> geometrisch, was dieser Parameterbereich bedeutet.
>
> Es muss gelten [mm]0\le\theta\le\pi/4[/mm] für den Kegel mit
> positiver z-Koordinate
> und [mm]-1/4\pi\le\theta\le0[/mm] für den Kegel mit negativer
> z-Koordinate (sollt ihr diesen mit in die Rechnungen
> einbeziehen?).
Also der Bereich von [mm] \theta [/mm] ist mir eigtl. jetzt schon klar geworden, ich weiss nur nicht wie ich nun [mm] 0\le [/mm] r [mm] \le \w{2} [/mm] und 0 [mm] \le \phi \le 2\pi [/mm] begründen/herleiten soll...
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> > Überlege dir mal
> > geometrisch, was dieser Parameterbereich bedeutet.
> >
> > Es muss gelten [mm]0\le\theta\le\pi/4[/mm] für den Kegel mit
> > positiver z-Koordinate
> > und [mm]-1/4\pi\le\theta\le0[/mm] für den Kegel mit negativer
> > z-Koordinate (sollt ihr diesen mit in die Rechnungen
> > einbeziehen?).
>
>
> Also der Bereich von [mm]\theta[/mm] ist mir eigtl. jetzt schon klar
> geworden, ich weiss nur nicht wie ich nun [mm]0\le[/mm] r [mm]\le \w{2}[/mm]
Das folgt aus der Kugelgleichung:
[mm] x^2+y^2+z^2\le 2=r^2.
[/mm]
> und 0 [mm]\le \phi \le 2\pi[/mm] begründen/herleiten soll...
[mm] \varphi [/mm] beschreibt den 'horizontalen' Winkel. Bei diesem ist hier jeder Winkel möglich.
LG
>
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Hi,
mir ist gerade noch eine Frage zu der Aufgabe eingefallen und zwar haben wir mit den obigen Integralgrenzen ja quasi die Fläche des Körpers berechnet, welcher außerhalb des Kegels im inneren der Kugel liegt.
Angenommen ich wollte das Volumen des Körpers berechnen, der im inneren liegt, wie müssten sich da die Grenzen ändern?
Radis r würde m.M.n. immer noch von [0, [mm] \w{2}] [/mm] gehen, da die Kugel vom Kegel ja geschnitten wird.
Würde [mm] \phi [/mm] auch immer noch von 0 bis [mm] 2\pi [/mm] gehen?
Bei [mm] \theta [/mm] weiss ich nicht, wie ich dann den Winkel anders bestimmen sollte, als schon oben gemacht...
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> Hi,
> mir ist gerade noch eine Frage zu der Aufgabe eingefallen
> und zwar haben wir mit den obigen Integralgrenzen ja quasi
> die Fläche des Körpers berechnet, welcher außerhalb des
> Kegels im inneren der Kugel liegt.
>
> Angenommen ich wollte das Volumen des Körpers berechnen,
> der im inneren liegt, wie müssten sich da die Grenzen
> ändern?
Ich glaube, wir haben beide die Aufgabenstellung etwas unterschiedlich interpretiert.
Für den Körper, der innerhalb der Kugel und außerhalb des Kegels liegt muss [mm] \frac{\pi}{4}\le \delta\le\frac{3\pi}{4} [/mm] gewählt werden.
Ich hatte oben den Parameterbereich für den Körper der innerhalb von Kugel und Kegel liegt berechnet. Damit kommt man auf [mm] 0\le\delta\le\frac{\pi}{4} [/mm] für den oberen 'Kegeltrichter'. Nimmt man noch den unteren Kegeltrichter dazu, hat man zusätzlich noch [mm] \frac{3\pi}{4}\le \delta\le\pi.
[/mm]
>
> Radis r würde m.M.n. immer noch von [0, [mm]\w{2}][/mm] gehen, da
> die Kugel vom Kegel ja geschnitten wird.
> Würde [mm]\phi[/mm] auch immer noch von 0 bis [mm]2\pi[/mm] gehen?
Ja.
>
> Bei [mm]\theta[/mm] weiss ich nicht, wie ich dann den Winkel anders
> bestimmen sollte, als schon oben gemacht...
Ich hoffe, dass wurde oben nun noch einmal deutlich.
LG
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Ich habe das jetzt gerade mal versucht das Volumen des Körpers zu berechnen, der im Kegel und in der Kugel liegt. Das müsste ja im Prinzip das Komplement von dem sein, was ich oben berechnet habe.
Das gesamte Volument der Kugel beträgt ja [mm] V=\frac{4}{3}(\w{2})^3\pi=11,847
[/mm]
Das oben berechnete Volumen vom Körper, der innerhalb der Kugel aber außerhalb des Kegels liegt ist ja [mm] V_1=$ \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\pi/4}^{3/4\pi}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi} [/mm] $ [mm] =\frac{8\pi}{3}=8,3775
[/mm]
Nun muss ja gelten, dass das Volumen [mm] V_2 [/mm] des Körpers, der in der KUgel und im Kegel liegt gerade [mm] V_2=V-V_1 [/mm] ist, also etwa 3,4694 betragen muss.
Berechne ich aber [mm] V_2=$ \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi/4}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi} [/mm] $ bekomme ich eine Zahl, die fast Null ist raus :/
Was stimmt denn jetzt wieder nicht? :(
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> Ich habe das jetzt gerade mal versucht das Volumen des
> Körpers zu berechnen, der im Kegel und in der Kugel liegt.
> Das müsste ja im Prinzip das Komplement von dem sein, was
> ich oben berechnet habe.
>
> Das gesamte Volument der Kugel beträgt ja
> [mm]V=\frac{4}{3}(\w{2})^3\pi=11,847[/mm]
>
> Das oben berechnete Volumen vom Körper, der innerhalb der
> Kugel aber außerhalb des Kegels liegt ist ja [mm]V_1=[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\pi/4}^{3/4\pi}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}[/mm]
> [mm]=\frac{8\pi}{3}=8,3775[/mm]
>
> Nun muss ja gelten, dass das Volumen [mm]V_2[/mm] des Körpers, der
> in der KUgel und im Kegel liegt gerade [mm]V_2=V-V_1[/mm] ist, also
> etwa 3,4694 betragen muss.
> Berechne ich aber [mm]V_2=[/mm]
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi/4}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}[/mm]
> bekomme ich eine Zahl, die fast Null ist raus :/
Dann hast Du dich sicherlich verrechnet. Ich erhalte als Ergebnis
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi/4}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}=4/3(-1+\sqrt(2))\pi\approx1,735.
[/mm]
LG
>
> Was stimmt denn jetzt wieder nicht? :(
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> Dann hast Du dich sicherlich verrechnet. Ich erhalte als
> Ergebnis
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi/4}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}=4/3(-1+\sqrt(2))\pi\approx1,735.[/mm]
Aber müsste da nicht 3,4694 rauskommen, damit [mm] V=V_1+V_2 [/mm] gilt?
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Hallo Der-Madde-Freund,
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> > Dann hast Du dich sicherlich verrechnet. Ich erhalte als
> > Ergebnis
> >
> >
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\pi/4}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}=4/3(-1+\sqrt(2))\pi\approx1,735.[/mm]
>
Das ist ja nur ein Teil des Volumens.
Der andere Teil ergibt sich dementsprechend zu:
[mm]\integral_{0}^{2\pi}{\integral_{\bruch{3}{4}\pi}^{\pi}{\integral_{0}^{\w{2}}{r^2\cdot{}sin(\theta) dr} d\theta} d\phi}=4/3(-1+\sqrt(2))\pi\approx1,735.[/mm]
>
> Aber müsste da nicht 3,4694 rauskommen, damit [mm]V=V_1+V_2[/mm]
> gilt?
Gruss
MathePower
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Nur um nochmal sicher zu gehen, eine Skizze würde doch etwa so aussehen, oder?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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Hallo Der-Madde-Freund,
> Nur um nochmal sicher zu gehen, eine Skizze würde doch
> etwa so aussehen, oder?
Bis auf die Tatsache, daß es sich um einen Doppelkegel handelt,
ist die Skizze richtig.
Gruss
MathePower
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Oh man, ich bin so hohl, es ist ja natürlich ein Doppelkegel!!!!
Das hat mich die ganze Zeit verwirrt, jetzt ist es mir klar :p
Vielen Dank an euch beide fürs helfen :p
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| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:18 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Hey
wir haben gestern exakt dieselbe Aufgabe gerechnet :D Und ich habe noch ein Verständnisproblem :(
> Überlege dir mal
> geometrisch, was dieser Parameterbereich bedeutet.
>
> Es muss gelten [mm]0\le\theta\le\pi/4[/mm] für den Kegel mit
> positiver z-Koordinate
> und [mm]-1/4\pi\le\theta\le0[/mm] für den Kegel mit negativer
> z-Koordinate (sollt ihr diesen mit in die Rechnungen
> einbeziehen?).
>
Bspw. ich möchte tatsächlich nur das Volumen des Kegels berechnen, der in positiver Richtung nach oben verläuft, dann hätte ich ja das Integral
[mm] \integral_{0}^{2\pi}{\integral_{0}^{\frac{\pi}{4}}{\integral_{0}^{\sqrt{2}}{r^2 \cdot sin(\theta) dr} d\theta} d\phi} [/mm] zu bestimmen. Was ich mich jetzt anschaulich frage: Ein Kegel hat doch eigtl. eine Kreisscheibe als Grundfläche, wenn der aber in der Kugel liegt, dann wird doch quasi noch die Rundung durch die Kugel mitberechnet, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:28 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hanz,
ja, das kannst Du Dir so vorstellen und den Einfluß im Integral, den siehst Du aufgrund des Radiuswertes und der Tatsache, dass Du über den vollen Winkel von 2 Pi integrierst.
Viele Grüße,
Infinit
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:33 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Hanz |
Eine Sache bereitet mir aber gerade noch etwas Kopfweh^^
Wenn ich den Winkel [mm] \theta [/mm] von 0 bis [mm] \pi/4 [/mm] laufen lasse und anschließend mit [mm] \phi [/mm] um 360° horizontal drehe, dann beschreibe ich doch das Gebiet außerhalb des Kegels damit??? Der Kegelausschnitt wird dann zwar dadurch erzeugt, aber anschaulich erhalte ich ja alles was außerhalb des Kegels liegt, warum berechnet man dann aber das Volumen innerhalb des Kegels damit?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:01 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Hanz,
[mm] \theta [/mm] ist der Winkel von der z-Achse weg. Für $ [mm] \theta [/mm] = 0 $ haben wir den vollen Radius und mit wachsendem Theta verkleinert sich dieser. Damit müsste man auf das Innere des Kegels kommen.
Viele Grüße,
Infinit
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