Volumen Bierglas < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:19 Di 01.04.2008 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo,
mein Mathelehrer hat uns folgendes Problem geschildert:
Wenn man ein Glas zum Trinken ansetzt, dann gibt es einen bestimmten Winkel bei dem das Getränk/Flüssigkeit genau die Hälfte des Glasbodens bedeckt. Lässt sich etwas schwierig beschreiben.
Wenn man sich das als geometrische Figur betrachtet ensteht dabei ein Kegelhuf.
Unser Lehrer hat uns schon die Zielfunktion gegeben, mit der Bemerkung sie sei 100%ig richtig: [mm] V=\bruch{2}{3}\*h\*r^{2}
[/mm]
Er würde von uns gerne erfahren wie man zu dieser Zielfuinktion kommt und vor allem warum kein [mm] \pi [/mm] in der Zielfunktion vorhanden ist.
Hab keine Idee :-(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Di 01.04.2008 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Hoffmann79!
Interessante Aufgabe. 
> Wenn man ein Glas zum Trinken ansetzt, dann gibt es einen
> bestimmten Winkel bei dem das Getränk/Flüssigkeit genau die
> Hälfte des Glasbodens bedeckt. Lässt sich etwas schwierig
> beschreiben.
> Wenn man sich das als geometrische Figur betrachtet ensteht
> dabei ein Kegelhuf.
Ich weiß zwar nicht, was ein Kegelhuf ist, aber ich kann mir das Ganze vorstellen.
> Unser Lehrer hat uns schon die Zielfunktion gegeben, mit
> der Bemerkung sie sei 100%ig richtig:
> [mm]V=\bruch{2}{3}\*h\*r^{2}[/mm]
>
> Er würde von uns gerne erfahren wie man zu dieser
> Zielfuinktion kommt und vor allem warum kein [mm]\pi[/mm] in der
> Zielfunktion vorhanden ist.
Ich verstehe nicht so ganz, wofür das die Zielfunktion ist. Es scheint ja ein Volumen anzugeben, aber wofür? Es ist doch egal, wieviel in dem Glas drin ist, man kann es doch (fast) immer so halten, dass die Hälfte des Bodens bedeckt ist, oder ich verstehe die Aufgabe doch nicht richtig. ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]") (Das "fast" steht dafür, falls das Glas zu voll ist, dann würde vorher etwas rauslaufen, bevor die nur noch die Hälfte bedeckt ist...  )
Nachtrag: ah, ich glaub', ich sehe. Das ist das Volumen für diesen Kegelhuf, oder?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:12 Di 01.04.2008 | | Autor: | abakus |
Hallo,
ich vermute, dass man das Volumen nicht elementargeometrisch, sondern nur durch Integration erhält. Wenn man die Flüssigkeit durch gleichabständige parallele Schnitte (parallel zum Zylinderboden) in lauter dünnen Schichten der Dicke dx zerlegt, so ist die Grundfläche jeder Schicht ein Kreissegment (mit Segmenthöhen, die auf dem Weg vom Glasboden zur Glasöffnung linear abnehmen).
Viele Grüße
Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:45 Di 01.04.2008 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, Hoffmann,
musst uns aber schon sagen, welche Form das Glas haben soll!
Bei einem Weizenbierglas kommt sicher was anderes raus als bei 'nem Pilsglas; bei einem Glas für Helles was anderes als bei 'nem Kölsch-Glas!
Also?!
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Di 01.04.2008 | | Autor: | Hoffmann79 |
Ja, es soll ein normales zylinderförmiges Glas sein. Ich hab vorhin mal Kegelhuf bei google eingegeben und da kam eine Geometrie-Infoseite und da sieht man ganz gut was ein Kegelhuf ist, wird wohl öfters in der Architektur verwendet.
Ich glaube die Zielfunktion gilt allgemein. Ich werde nochmal Rücksprache mit meinem Mathe-Lehrer nehmen.
Danke schonmal
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Hmmm, ich habs jetzt mal analytisch ausgerechnet. Da wird recht schnell klar, warum das [mm] \pi [/mm] weg fällt. Allerdings: Die Lösung, die du hier angegeben hast, ist 100% exakt, ich komme auf das gleiche!
Ich habs allerdings mit Dreifach-Integralen gelöst, das ist vermutlich eher nicht der von dir gesuchte Weg. Daher muß ich leider auch passen, was eine schulische Erklärung angeht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:16 Di 01.04.2008 | | Autor: | B-F-E |
Ich vermute mal, dass sich das [mm] \pi [/mm] irgendwo wegkürzen läßt. Wenn man sich das mal aufmalt (oder ausprobiert), hat man ja am Glasboden eine halbkreisförmige Fläche und die Wasseroberfläche hat die Form einer Ellipse, die am Glasboden etwas abgeschnitten ist. Sieht so ähnlich aus, wie ein halber Zuckerhut..
Wie man das jetzt in eine Formel umwandelt, weiß ich allerdings nicht ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:25 Di 01.04.2008 | | Autor: | Hoffmann79 |
Worauf es hinausläuft weiss ich ja auch nicht. Fakt ist unsere Themen der letzten Wochen waren die Grenzwerte, Kurvendiskussion, Extremwerte und jetzt beginnen wir mit Integralen. Ich schätze aber schon das es auf einen Extremwert hinausläuft und er diesbezüglich die einzelnen Nebenbedingungen sehen möchte.
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Aha, also doch schon Oberstufe. Ich hatte eben dran gezweifelt, weil du als Background "Realschule" angegeben hattest.
Dann würde ich an deiner Stelle versuchen, dieses Volumen aus einzelnen Klötzen aufzubauen. Beispielsweise könntest du das Volumen in einzelne Schichten parallel zum Glasboden zerlegen. Die Schichten sind näherungsweise Prismen mit einem Kreissegment als Grundfläche. Wenn es dir gelingt, eine Formel für die Grundfläche in einer beliebigen Schicht herzuleiten, kannst du eine Summe aufstellen und den Grenzwert für unendlich dünne Schichten berechnen.
Denkbar wäre auch, daß du dir andere Schnittebenen suchst, da müßtest du mal schaun, womit du am weitesten kommst.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:44 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hier nun nochmal die detaillierte Fragestellung.
[Dateianhang nicht öffentlich]
![[a]](/images/paperclip.gif "Dateianhänge") Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 10:56 Do 03.04.2008 | | Autor: | angela.h.b. |
Hallo,
manche mögen mich jetzt vielleicht für etwas bekloppt halten, aber ich seh's nicht:
der Name "Kegelhuf" stößt einen ja darauf, daß hier ein Kegel zerschnitten wurde.
Und diesen Kegel kann ich einfach nicht finden.
Kann mir da jemand helfen mit Beschreibung oder Bild?
Gruß v. Angela
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Achso!
Nicht Kegel- sondern Zylinderhuf. (War wohl ein Fehler im Eingangspost)
Mit "Zylinder" sehe ich alles, was ich sehen will.
Gruß v. Angela
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Könntest du mir evtl. die Lösung mittels der 3fach-Integralen zukommen lassen? Würde mich sehr interessieren.
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Ok, kann ich machen.
Ich mach erstmal ne kleine Fingerübung für dich:
Wenn du eine Fläche berechnen willst, kannst du diese auf Kästchenpapier zeichen, und die Kästchen aufaddieren, die innerhalb der Fläche liegen. Für unendlich kleine Kästchen wird daraus die Integration:
[mm] $A=\iint [/mm] 1 [mm] \,dxdy$
[/mm]
Das Problem sind die Grenzen.
Jetzt mal ein dir bekanntes Problem, die Fläche unter einer Funktion. In x-Richtung gibts DU vor, daß die Funktion von a bis b gehen soll. In y-Richtung dagegen ist die eine, meist untere Grenze 0, und die andere ist durch die Funktion f(x) gegeben:
[mm] $A=\int_a^b\left(\int_0^{f(x)} 1\,dy\right)\,dx$
[/mm]
Die innere Integration kannst du ausführen:
[mm] $A=\int_a^b (f(x))\,dx$
[/mm]
also das bekannte, was du kennen solltest:
[mm] $A=\int_a^b f(x)\,dx$
[/mm]
Wichtig ist hier, daß die obere Grenze von y von einer anderen Variablen, nämlich x, abhängt!
Gut, das ganze lässt sich auf ein Volumen erweitern:
[mm] $A=\iiint [/mm] 1 [mm] \,dxdydz$
[/mm]
Und jetzt wirds fies: statt wie bisher in einem rechtwinkligen Koordinatensystem mit kleinen Würfeln zu rechnen, gehen wir über in Polarkoordinaten. Die Höhe z bleibt, aber statt x und y bekommen wir nun einen Radius r und einen Winkel [mm] \phi [/mm] .Es gilt:
[mm] x=r*\cos\phi
[/mm]
[mm] y=r*\sin\phi
[/mm]
Das Integral sieht nun so aus:
[mm] $A=\iiint \red{r} \,drd\phi [/mm] dz$
Warum [mm] \red{r} [/mm] ? Nun, wie sehen die Stückchen denn nun aus? Betrachte eine Torte. Diese zerlegst du in einzelne Ringe mit Dicke dr, anschließend schneidest du Tortenstücke raus, die einen Winkel von [mm] d\phi [/mm] in der Mitte haben. Gut, dann mußt du die Torte noch horizontal in Scheiben schneiden, aber das ist egal hier.
Die Stückchen, die du bekommst, sind unterschiedlich groß. Je weiter außen, desto größer! Das geht mit dem Radius r des Ringes, aus dem ein Stückchen stammt, deshalb kommt da der Faktor r ins Integral.
Dies war vermutlich für dich das schwierigste. Man könnte sich auch überlegen, das ganze in gewöhnlichen rechtwinkligen Koordinaten zu rechnen, dann hat man später aber ganz böse Grenzen...
Jetzt überlegen wir uns die Grenzen.
Die Höhe über dem Glasboden wird durch eine Ebene, den Flüssigkeitsspiegel bestimmt.
[mm] z=\frac{H}{R}y
[/mm]
Beachte, wie für y=0...R dieser Wert im Bereich 0...H verläuft!
Gut, wir waren in Zylinderkoordinaten, also
[mm] z=\frac{H}{R}r*\sin(phi)
[/mm]
Das ist ein wichtiges Ergebnis, z verläuft im Bereich [mm] 0...\frac{H}{R}r*\sin(phi) [/mm] , je nachdem, wo auf dem Glasboden du sitzt.
Weiter: r verläuft von $0...R$ , und [mm] \phi [/mm] verläuf von [mm] $0...\pi$ [/mm] (Halbkreis)
Damit haben wir alles zusammen. r und [mm] \phi [/mm] bilden die Grundflächen, zusammen mit der Höhe ergibt das einen Haufen von Säulen, die wir aufaddieren bzw aufintegrieren.
Weil die Höhe von den anderen beiden abhängig ist, müssen wir darüber zuerst integrieren:
[mm] V=\int_0^R\left(\int_0^\pi\left(\int_0^{\frac{H}{R}r*\sin(phi)} r \,dz \right)\,d\phi\right)dr
[/mm]
Dieses Integral sieht schlimmer aus, als es ist, versuch dich mal damit. Es sollte EXAKT dein Ergebnis raus kommen.
Das [mm] \pi [/mm] verschwindet, weil man über den SIN integriert, die Stammfunktion ist -COS, und wenn man da [mm] \pi [/mm] einsetzt, kommt da 1 raus, und das [mm] \pi [/mm] ist völlig verschwunden.
Ich denke mal, das ist jetzt ein harter Brocken für dich gewesen, aber sowas ist eigentlich auch kein Stoff für die Schule.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:42 Do 03.04.2008 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo,
ich danke dir erstmal. Sieht natürlich richtig heftig aus, werd ich zusammen mit meinem Mathe-Lehrer mal durchgehen.
MfG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:27 Do 03.04.2008 | | Autor: | chrisno |
Hallo,
ich gehe mal davon aus, dass es sich um Integralrechnung handelt und nicht eine Zielfunktion. Das Volumen lässt sich relativ leicht mit einem einfachen Integral berechnen.
Die x-Achse wird entlang des Durchmessers auf dem Glasboden gelegt. Die y-Achse läuft senkrecht dazu auf dem Glasboden, die z-Achse zeigt nach oben. Das zu berechnende Volumen wird nun in Scheiben senkrecht zur x-Achse zerschnitten. Die Scheiben haben die Dicke dx. Die Fläche der Scheiben besteht aus ähnlichen Dreiecken. Das Verhältnis der Seiten in y und z Richtung beträgt immer r zu h. Da der Boden kreisförmig ist, gilt für die Randpunkte:
$y(x) = [mm] \wurzel{r^2 - x^2}$.
[/mm]
das ist die eine Kantenlänge des Dreiecks, die andere beträgt:
$z(x) = [mm] \bruch{h}{r}\wurzel{r^2 - x^2}$.
[/mm]
Damit ist die Dreiecksfläche:
$A(x) = [mm] \bruch{1}{2}\wurzel{r^2 - x^2}\bruch{h}{r}\wurzel{r^2 - x^2} [/mm] = [mm] \bruch{h}{2r}(r^2 [/mm] - [mm] x^2)$.
[/mm]
Das Volumen entsteht durch "Addition" aller Scheiben:
$V = [mm] \integral_{-r}^{+r}\bruch{h}{2r}(r^2 [/mm] - [mm] x^2) [/mm] dx = [mm] [\bruch{h}{2r}(xr^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{3}x^3)]_{-r}^{+r} [/mm] = [mm] \bruch{2}{3}r^2h$.
[/mm]
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Hallo,
die Sache mit Deinen Dreiecken gefällt mir richtig gut.
Nur eins stimmt mich traurig: daß ich nicht darauf gekommen bin.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:04 Do 03.04.2008 | | Autor: | chrisno |
Nun kommt man auch der eigentlichen Frage näher: Warum steht da kein [mm] $\pi$ [/mm] im Ergebnis?
Würde man nur die Fläche des Halbkreises integrieren, dann stünde da [mm] $\wurzel{r^2-x^2}$ [/mm] unter dem Integral und das hat den arccos (oder arcsin?) zur Stammfunktion und so kommt dann aus [mm] $\arccos(1)= \pi$ [/mm] ein [mm] $\pi$ [/mm] in das Endergebnis. Nur weil die andere Seitenlänge der Dreiecke proportional zur Grundseite ist, kommt noch einmal als Faktor die Wurzel dazu. Damit verschwindet sie aus dem Integral und damit auch das [mm] $\pi$.
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:22 Do 03.04.2008 | | Autor: | Hoffmann79 |
Erstmal danke all denen die sich an der Beantwortung meines Problems beteiligt haben.
Als Anhang hab ich hier noch den Lösungsvorschlag meines Mathe-Lehrers.
MfG
Daniel
Datei-Anhang
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: pdf) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:40 Do 03.04.2008 | | Autor: | chrisno |
Dann zeig ihm bitte meine Version, mit kollegialem Gruß.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:32 Mo 28.04.2008 | | Autor: | Hoffmann79 |
Hallo, sorry weil ich erst jetzt antworte, aber es geht auf die Prüfungen zu und ich hab alle Hände voll zu tun.
Er war von der Version mit den Dreiecken sehr angetan, weil es die rechnerisch einfachste ist. Danke nochmal.
MfG
Daniel
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![[prost]](/images/smileys/prost.gif "[prost]"){kind=small}
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