Volumen Kugel und Zuwachs delta v < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 Mi 07.07.2004 | | Autor: | FLy |
Habe leider schon wieder nee Frage
Ich soll den Zuwachs eines Volumen einer Kugel berechenen vom Radius r
desen Radius sich dann um delta r ändert dann bekomme ich als Lösung ja delta V Das gesucht ist heraus.
Nun habe ich mir Überlegt das Das Volumen einer Kugel
V= 3/4*pi*r ist
und delta V = 3/4*pi*delta r -3/4*pi*r sein muss oder?
nun brauche ich noch das differenzial dV dieser Funktion aber nach was soll man den da ableiten
Tut mir echt leid wenn ich so viel frage aber ich habe echt keinen Plan!
Fly
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:22 Mi 07.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Fly!
> Habe leider schon wieder nee Frage
>
> Ich soll den Zuwachs eines Volumen einer Kugel berechenen
> vom Radius r
> desen Radius sich dann um delta r ändert dann bekomme ich
> als Lösung ja delta V Das gesucht ist heraus.
>
> Nun habe ich mir Überlegt das Das Volumen einer Kugel
>
>
> V= 3/4*pi*r ist
Du meinst:
$V = [mm] \frac{3}{4} \cdot \pi \cdot r^{\red{3}}$.
[/mm]
> und delta V = 3/4*pi*delta r -3/4*pi*r sein muss oder?
Nein. Es gilt:
[mm] $\Delta [/mm] V$
$= [mm] \frac{3}{4} \pi \cdot [/mm] (r + [mm] \Delta r)^3 [/mm] - [mm] \frac{3}{4} \pi \cdot r^3$
[/mm]
$= [mm] \frac{3}{4} \pi r^3 [/mm] + 3 [mm] \cdot \frac{3}{4} \pi r^2 \Delta [/mm] r + 3 [mm] \cdot \frac{3}{4} \pi [/mm] r [mm] (\Delta r)^2 [/mm] + [mm] \frac{3}{4} \pi (\Delta r)^3 [/mm] - [mm] \frac{3}{4} \pi r^3$
[/mm]
$= 3 [mm] \cdot \frac{3}{4} \pi r^2 \Delta [/mm] r + 3 [mm] \cdot \frac{3}{4} \pi [/mm] r [mm] (\Delta r)^2 [/mm] + [mm] \frac{3}{4} \pi (\Delta r)^3$.
[/mm]
Für [mm] $\Delta [/mm] r [mm] \to [/mm] 0$ folgt (in Differentialschreibweise):
$dV = 3 [mm] \cdot \frac{3}{4} \pi r^2 [/mm] dr = [mm] \frac{9\pi}{4} r^2 [/mm] dr$,
oder auch :
[mm] $\frac{dV}{dr} [/mm] = [mm] \frac{9\pi}{4} r^2$.
[/mm]
Auf das gleiche Ergebnis kommt man natürlich auch direkt, wenn man
$V(r) = [mm] \frac{3}{4} \pi r^3$
[/mm]
nach $r$ ableitet.
Liebe Grüße
Julius
|
|
|
|
