Volumen Oberfläche < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Jaina123 |
| Aufgabe | | Wählen sie die Eckpunkte eines Tetraeders so das dessen Grundfläche in der x-y-Ebene liegt und sein Volumen [mm] 20LE^3 [/mm] beträgt. Wie muss ein Tetraeder beschaffen sein , das bei gegebenem Volumen eine möglichst kleine Oberfläche hat? |
Ich habe die allgemeine Formel für das Volumen so verändert das ich die Kanten des Tetraeders herausbekommen habe a= 5,5 Ich gehe jetzt einfach mal davon aus das die Flächen alle gleich lang sind.
Wie soll ich aber nun weiter vorgehen?
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Hallo Jaina,
erstmal: Flächen sind nicht 'lang'. Und ich glaube, du hast die Aufgabe niocht ganz verstanden. Bei der a) gibt es unendlich viele Lösungen, es muss einfach so sein, dass zu einer vorgegebenen Grundfläche G die Beziehung
[mm] \frac{1}{3}*G*h=20
[/mm]
gilt.
Der eigentlich spannende Teil dieser Aufgabe ist die Frage nach demjenigen Tetraeder, das bei gegebenem Volumen eine minimale Oberfläche besitzt. Deine Vermutung erscheint mir richtig, obwohl ich es gerade nicht 100-prozentig beschwören kann. Aber um das zu beweisen, musst du ein bisschen mehr tun als nur vermuten.
Ich nehme mal an, das ganze ist eine Aufgabe im Zusammenhang mit der Vektorrechnung. Ist dir denn das Konzept der Flächen- und Volumenberechnung mit Hilfe des Kreuzprodukts bekannt (das würde die Sache vermutlich stark vereinfachen)?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Jaina123 |
ja das Kreuzprodukt ist mir bekannt... aber wie soll ich das darauf anwenden? :)
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Hallo,
nun, mit Hilfe des Kreuzproduktes sind
[mm] A_{Dreieck}=\frac{1}{2}*|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|
[/mm]
[mm] V_{Tetraeder}=\frac{1}{6}*|\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}\circ\overrightarrow{c}|
[/mm]
Weiter gelten ja für Kreuz- und Skalarprodukt:
[mm] \overrightarrow{a}\circ\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|*cos\phi
[/mm]
[mm] |\overrightarrow{a}\times\overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{a}|*|\overrightarrow{b}|*sin\phi
[/mm]
Das wären so die Bausteine, mit denen ich das mal versuchen würde. In welchem Rahmen ist das den gestellt worden, wirklich in der Schule?
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:24 Mi 08.06.2011 | | Autor: | Jaina123 |
Nee das ist keine Aufgabe von meiner Schule aus, meine Schwester hat ihr mündliches Abitur und wir sitzen da nun zusammen dran und es ist ja nicht so schlecht wenn ich das dann auch verstehe :) .
Wie soll ich denn die dinge benutzen die du mir geschrieben hast wenn ich nur die Volumen angabe habe? :)
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Hallo Jaina,
seid ihr sicher, dass das eine Frage hist, die man im mündlichen Abi mit Herleitung beantworten muss? Mir scheint sie dafür zu schwierig zu sein. Ist es möglich, dass es sich um eine Wissensfrage handelt, ähnlich der, welche Figur bei gegebener Fläche den kleinsten Umfang besitzt? Richtig: das ist der Kreis. Jeder weiß das. Aber der Beweis hat es in sich und übersteigt das Niveau der Schulmathematik deutlich. Ähnlich sehe ich das hier bei dieser Aufgabe. Aber vielleicht übersehe ich etwas und jemand anderes hier weiß einen einfachen Weg, deine richtige Vermutung zu beweisen.
Außerdem hast du deine Frage auch in anderen Foren gestellt, bspw. ![[]](/images/popup.gif) hier. Das ist hier im MatheRaum eigentlich laut den Forenregeln nicht in Ordnung.
Vielleicht sagst du einfach noch mal etwas mehr dazu, woher diese Aufgabe wirklich stammt. Ich kann das mit der Abiaufgabe nicht so recht glauben...
Gruß, Diophant
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