Volumen Wasserbecken < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:07 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
| Aufgabe | Ein drehsymmetrisches Wasserbecken hat eine Parabel mit der Gleichung z=ax² als Berandung des Querschnitts. Bei Wasserstand 5m hat die Wasseroberfläche einen Druchmesser von 20m.
1. Bestimmen Sie die Parabelgleichung
2. Berechnen Sie bitte das Volumen bei einem Wasserstand von 8m. (Zylinderkoordinaten) |
Zu 1.)
[mm] $z=a*x^2 \gdw 5=a*10^2 \gdw a=\bruch{5}{100}=0.05$
[/mm]
[mm] $z=0.05*x^2$
[/mm]
Zu 2.)
Abhängigkeit der Koordinate [mm] \rho [/mm] von z
[mm] $z=0.05*\rho^2 \gdw \rho=\wurzel{z/0.05}=\wurzel{20z}$
[/mm]
[mm] $\integral_{\phi=0}^{2*\pi}{\integral_{z=0}^{8}{\integral_{\rho=0}^{\wurzel{20z}}{\rho*d\rho}dz}d\phi}$
[/mm]
Richtig so weit?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:12 Mo 10.02.2014 | | Autor: | fred97 |
> Ein drehsymmetrisches Wasserbecken hat eine Parabel mit der
> Gleichung z=ax² als Berandung des Querschnitts. Bei
> Wasserstand 5m hat die Wasseroberfläche einen Druchmesser
> von 20m.
>
> 1. Bestimmen Sie die Parabelgleichung
> 2. Berechnen Sie bitte das Volumen bei einem Wasserstand
> von 8m. (Zylinderkoordinaten)
>
>
>
> Zu 1.)
> [mm]z=a*x^2 \gdw 5=a*10^2 \gdw a=\bruch{5}{100}=0.05[/mm]
>
> [mm]z=0.05*x^2[/mm]
>
> Zu 2.)
> Abhängigkeit der Koordinate [mm]\rho[/mm] von z
>
> [mm]z=0.05*\rho^2 \gdw \rho=\wurzel{z/0.05}=\wurzel{20z}[/mm]
>
> [mm]\integral_{\phi=0}^{2*\pi}{\integral_{z=0}^{8}{\integral_{\rho=0}^{\wurzel{20z}}{\rho*d\rho}dz}d\phi}[/mm]
>
> Richtig so weit?
Nein, sondern [mm]\integral_{\phi=0}^{2*\pi}{\integral_{z=0}^{8}{\integral_{\rho=0}^{20z}{\rho*d\rho}dz}d\phi}[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Warum denn nicht die Wurzel? Erschließt sich mir irgendwie nicht.
Habe auch gerade herausgefunden, dass der Ansatz sowieso komplett falsch ist, da diese Konstellation von Integralen leider keine Paraboloid ist.
Ich habe mir jetzt folgendes gedacht:
Die Koordinate x (also der Radius) läuft von 0 bis [mm] 4*\wurzel{10} [/mm] und die Höhe z läuft von [mm] 0.05*\rho^2 [/mm] bis 8
[mm] $V=\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{\rho=0}^{4*\wurzel{10}}{\integral_{0.05*\rho^2}^{8}{\rho*dz}*d\rho}*d\phi}$
[/mm]
Und erhalte als Ergebnis 2010,62 m³
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Mo 10.02.2014 | | Autor: | Calli |
> ...
> Habe auch gerade herausgefunden, dass der Ansatz sowieso
> komplett falsch ist, da diese Konstellation von Integralen
> leider keine Paraboloid ist.
>
> Ich habe mir jetzt folgendes gedacht:
> Die Koordinate x (also der Radius) läuft von 0 bis
> [mm]4*\wurzel{10}[/mm] ...
oder [mm] $0\leq \rho \leq \sqrt{20\,z}$
[/mm]
> und die Höhe z läuft von [mm]0.05*\rho^2[/mm] bis 8
oder [mm] $0\leq [/mm] z [mm] \leq [/mm] 8$, was einfacher zu integrieren ist.
> [mm]V=\integral_{\phi=0}^{2\pi}{\integral_{\rho=0}^{4*\wurzel{10}}{\integral_{0.05*\rho^2}^{8}{\rho*dz}*d\rho}*d\phi}[/mm]
>
> Und erhalte als Ergebnis 2010,62 m³
[mm] $V=640\,\pi\;m^3$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:33 Di 11.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Dann müsste ich aber die Reihenfolge der Integrale wieder ändern oder nicht? Wenn ich rho von z abhängig mache, muss ich ja erst nach [mm] d\rho [/mm] integrieren und dann nach dz oder nicht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:49 Di 11.02.2014 | | Autor: | fred97 |
Warum machst Du Dir das Leben so schwer ?
Betrachte den Graphen der Funktion [mm] f(x)=\wurzel{20x} [/mm] (x [mm] \in [/mm] [0,8])
Lasse den Graphen um die x - Achse rotieren. Das gesuchte Volumen berechnet sich dann wie folgt:
[mm] $\pi*\integral_{0}^{8}{f(x)^2 dx}$
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:51 Di 11.02.2014 | | Autor: | Morph007 |
Ich soll mir doch das Leben so schwer machen :)
Sollte ja per Dreifachintegral mit Zylinderkoordinaten bestimmt werden. Ist eine alte Prüfungsaufgabe.
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