Volumen des Standardsimplexes < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:54 Fr 19.11.2004 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Diesmal habe ich sogar schon mehr oder weniger die Lösung, nur der Rechenweg fehlt noch so etwas... (Kennt einer den Königsberger? Tolles Buch, da steht die Lösung drin.  )
Also: ich soll das Volumen des d-dimensionalen Standardsimplexes [mm] S_d=\{x\in\IR^d, x_i \ge 0 \forall i, \summe_{i=1}^{d}x_i \le 1\}.
[/mm]
Außerdem soll man dabei den Satz von Fubini verwenden.
So, also falls sich jemand das Standardsimplex nicht vorstellen kann:
Im [mm] \IR^1 [/mm] ist es einfach die Strecke von 0 bis 1, im [mm] \IR^2 [/mm] ein gleichschenkliges Dreieck mit den Strecken von 0 bis 1 jeweils auf der x- und der y- Achse als Katheten. Um im [mm] \IR^3 [/mm] dann eine Art Pyramide, wo drei Seiten genau auf den Koordinatenachsen liegen, jeweils wieder von 0 bis 1.
Im [mm] \IR^1 [/mm] und [mm] \IR^2 [/mm] kann man sich das "Volumen" ja noch selber berechnen. Im Königsberger steht als Lösung allgemein: [mm] v_n(S_d)=\bruch{1}{n!}.
[/mm]
Frage ist nun, wie kommt man darauf und vor allem wie schreibt man das so auf, dass dafür auch 3 Punkte gerechtfertigt sind.
Bevor ich die Lösung gefunden hatte, hatte ich mir Folgendes gedacht:
ich muss berechnen: [mm] \mu_d(S_d)
[/mm]
Das müsste eigentlich sein:
[mm] =\integral_{0}^{1}{\mu_{d-1}(S_t)dt}, [/mm] oder? wobei [mm] S_t [/mm] der t-Schnitt
Dabei bin ich mir aber nicht sicher, was die Integralgrenzen sind. Bei unseren Beispielen von Kreis und Kugel haben wir den Radius genommen, ich habe mir hier gedacht: da die [mm] x_i [/mm] ja genau zwischen 0 und 1 liegen, ist das doch für die Volumenberechnung hier genauso wie bei dem Kreis der Radius, oder?
Naja, und dann habe ich mir gedacht, kann ich das theoretisch rekursiv so weiter ersetzen, bis ich dann am Ende raushabe:
[mm] \integral_{0}^{1}{\mu_{d-1} * ... * \mu_1(S_t)dt}
[/mm]
Ist das noch so richtig?
Und jetzt weiß ich ja, dass [mm] \mu_1(S_t) [/mm] = 1 ist (das ist ja gerade die Länge der Strecke von 0 bis 1, und [mm] \mu_2 [/mm] davon müsste jetzt [mm] \bruch{1}{2} [/mm] sein (eben die Fläche des Dreiecks), aber wie komme ich allgemein auf [mm] \mu?
[/mm]
Und an welcher Stelle wird hier der Fubini verwendet? Eigentlich doch in jedem Schritt, also jedesmal wenn ich [mm] \mu_i [/mm] durch [mm] \mu_{i-1} [/mm] ersetze, oder?
Wäre schön, wenn jemand meine Idee mal kommentieren könnte, und mir evtl. zum richtigen Lösungsweg verhelfen könnte ohne mir direkt alles zu präsentieren... 
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:32 Do 25.11.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Deine Idee war goldrichtig!! ![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Wir zeigen die Behauptung [mm] $\mu_d(S_d) [/mm] = [mm] \frac{1}{d!}$ [/mm] mit vollständiger Induktion nach $d$. Der Indutionsanfang $(d=1)$ ist klar.
Jetzt zum Induktionsschritt:
Nach dem Cavalierischen Prinzip gilt:
[mm] $\mu_d(S_d) [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 \mu_{d-1}(S_d^{(t)})\, [/mm] dt$
mit
[mm] $S_d^{(t)}:=\{(x_1,\ldots,x_{d-1}) \in \IR^{d-1},\, x_i \ge 0,\, x_1+x_2 + \ldots + x_{d-1} \le 1-t\} [/mm] = (1-t) [mm] \cdot S_{d-1}$,
[/mm]
wobei
[mm] $S_{d-1}=\{(x_1,\ldots,x_{d-1}) \in \IR^{d-1},\, x_i \ge 0, \, x_1 + x_2 + \ldots + x_{d-1} \le 1\}$.
[/mm]
Nach Induktionsvoraussetzung gilt:
[mm] $\mu_{d-1}(S_{d-1}) [/mm] = [mm] \frac{1}{(d-1)!}$.
[/mm]
Daher gilt:
[mm] $\mu_{d-1}(S_d^{(t)}) [/mm] = [mm] (1-t)^{d-1} \cdot \mu_{d-1}(S_{d-1}) [/mm] = [mm] \frac{(1-t)^{d-1}}{(d-1)!}$.
[/mm]
Wir haben also:
[mm] $\mu_d(S_d) [/mm] = [mm] \int\limits_0^1 \mu_{d-1}(S_d^{(t)})\, [/mm] dt = [mm] \int\limits_0^1 \frac{(1-t)^{d-1}}{(d-1)!}\, [/mm] dt = [mm] \frac{1}{(d-1)!} \cdot \left[ - \frac{(1-t)^d}{d} \right]\big\vert_{t=0}^{t=1} [/mm] = [mm] \frac{1}{(d-1)!} \cdot \frac{1}{d} [/mm] = [mm] \frac{1}{d!}$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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