Volumen eines Paraboloids < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 So 14.03.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo, ich verzweifle bei folgender Aufgabe:
"Gegeben sei eine reelle Zahl h. Bestimmen sie das Volumen des Paraboloids [mm] \left\{ \left( x,y,z \right) \in \IR^3 \left| {x^2} + {y^2} \le z \le h \right\} [/mm] Berechnen sie das entsprechende Integral auch mit Hilfe des Übergangs zu Polarkoordinaten."
Ich habe mir Überlegt, den Paraboloid in die verschiedenen Ebenen abzubilden. Also z.B. in die x,z Ebene so ist [mm]x^2 \le z[/mm] Und dieses wird dann nach der Volumenintegralregel [mm] V = \integral_{-a}^{a} (f(x))^2 dx[/mm]. In der Mustelösung steht nun [mm]f(x)= \wurzel(x) [/mm] und die anschließenden Grenzen sind 0 und h,aber ich denke es müsste heissen [mm]f(z)= \wurzel(z)[/mm] dann weiss ich aber nicht welche grenzen ich nehem muss. Kann mir jemand helfen? Das mit den Polarkoordinaten wäre ganz toll, aber ich will erstmal die normale integration hinkriegen, also bitte konzentriert euch auf diese Lösung, danke. Ich schreibe in 4 Tagen Klausur, weswegen es ein wenig eilt. Danke für eure Mühen, Magician.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:23 So 14.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Magician,
willkommen im MatheRaum  !
> Hallo, ich verzweifle bei folgender Aufgabe:
> "Gegeben sei eine reelle Zahl h. Bestimmen sie das Volumen
> des Paraboloids [mm]\left\{ \left( x,y,z \right) \in \IR^3 \left| {x^2} + {y^2} \le z \le h \right\}[/mm]
> Berechnen sie das entsprechende Integral auch mit Hilfe des
> Übergangs zu Polarkoordinaten."
Das ist also eine Normalparabel, die um die z-Achse rotiert wird.
> Ich habe mir Überlegt, den Paraboloid in die verschiedenen
> Ebenen abzubilden. Also z.B. in die x,z Ebene so ist [mm]x^2 \le z[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und dieses wird dann nach der Volumenintegralregel [mm]V = \integral_{-a}^{a} (f(x))^2 dx[/mm].
Die Grenzen verstehe ich nicht, ist aber auch nicht so wichtig. Es fehlt noch das [mm] $\pi$:[/mm] [mm]V = \pi*\integral_{a}^{b} (f(x))^2 dx[/mm]
> In der Mustelösung steht nun [mm]f(x)= \wurzel(x)[/mm] und die
> anschließenden Grenzen sind 0 und h,aber ich denke es
> müsste heissen [mm]f(z)= \wurzel(z)[/mm] dann weiss ich aber nicht
Die Musterlösung hat sich bestimmt gedacht, dass der Name der Integrationsvariable keine Rolle spielt, aber du hast strenggenommen Recht, es müßte [mm] $f(z)=\wurzel{z}$ [/mm] lauten.
> welche grenzen ich nehem muss. Kann mir jemand helfen? Das
Die Grenzen bleiben doch dann, also von $0$ bis $h$ integrieren.
Du musst also dieses Integral berechnen:
[mm] $V=\pi\integral_0^h \sqrt{z}^2 dz=\pi\integral_0^h [/mm] z dz$
> mit den Polarkoordinaten wäre ganz toll, aber ich will
> erstmal die normale integration hinkriegen, also bitte
Okay, das machen wir später (ich wüßte jetzt auch spontan sowieso nicht, wie )
> konzentriert euch auf diese Lösung, danke. Ich schreibe in
> 4 Tagen Klausur, weswegen es ein wenig eilt. Danke für eure
> Mühen, Magician.
Bei Fragen melde dich bitte wieder.
Viel Erfolg,
Marc
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:44 So 14.03.2004 | | Autor: | Magician |
Hallo Marc, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich habe aber noch ein paar Verständnisfragen. Wenn ich mir diesen Paraboloid vorstelle, so habe ich in der x-y Ebene eine Funktion welche einen Kreis beschreibt mit Radius < oder = h. In der x-z Ebene habe ich eine Normalparabel. Welche wie eine Normalparabel der Form [mm]y=x^2[/mm] nach oben (z-Achse) geöffnet ist. Von dieser Normalparabel nehme ich die Funktion [mm] f(z)= \wurzel(z) [/mm]. Der Durchmesser der Normalparabel ist ja dann höchstens 2h. Wenn ich nun diese Funktion um die z-Achse rotiere, wieso sind dann meine Integrationsgrenzen 0 und h. Der x-Abschnitt der einen Parabelhälfte geht doch von null bis h, da ich aber nicht die Funktion nach x Aufgelöst habe sondern nach z sind die Grenzen doch anders? Ist die Kreisfläche der x-y Ebene sozusagen der Boden meines "Gefäßes"? und ich muss nun die Parabel die auf dem Boden steht um die z-Achse rotieren lassen (wieder die Frage der Grenzen)? Oder habe ich mir dieses Gebilde falsch vorgestellt? Magician
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 So 14.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo Magician,
> Hallo Marc, erstmal vielen Dank für deine Antwort. Ich habe
> aber noch ein paar Verständnisfragen. Wenn ich mir diesen
Erstmal hier einen kleinen Plot; die y-Achse mußt du dir senkrecht auf dem Bildschirm vorstellen:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> Paraboloid vorstelle, so habe ich in der x-y Ebene eine
> Funktion welche einen Kreis beschreibt mit Radius < oder = h.
Wenn du die x-y Ebene meinst, dann siehst du nun einen Punkt, nämlich den Ursprung.
Auf parallelen Ebenen zur x-y-Ebene siehst du dann Kreise, die größer werden, je weiter du die Schnittebene vom Ursprung entfernst.
> In der x-z Ebene habe ich eine Normalparabel. Welche wie
Stimmt, genauso wie in der y-z Ebene.
> eine Normalparabel der Form [mm]y=x^2[/mm] nach oben (z-Achse)
Das müßte dann aber [mm] $z=x^2$ [/mm] oder [mm] $z=y^2$ [/mm] sein.
> geöffnet ist. Von dieser Normalparabel nehme ich die
> Funktion [mm]f(z)= \wurzel(z) [/mm]. Der Durchmesser der
Genau, wir benötigen die Umkehrfunktion, da nicht die Fläche unterhalb der Parabel gesucht ist. Da ist es einfacher, über z zu integrieren.
> Normalparabel ist ja dann höchstens 2h. Wenn ich nun diese
Nein, der ist [mm] $2*\wurzel{h}$, [/mm] siehe unten.
> Funktion um die z-Achse rotiere, wieso sind dann meine
> Integrationsgrenzen 0 und h. Der x-Abschnitt der einen
> Parabelhälfte geht doch von null bis h, da ich aber nicht
Nein, das stimmt nicht, oder ich verstehe es falsch.
z liegt zwischen 0 und h, die x-Koordinate (genau wie die y-Koordinate) bewegt sich zwischen [mm] $-\wurzel{h}$ [/mm] und [mm] $+\wurzel{h}$
[/mm]
In dem Plot oben habe ich das mit einer grünen Linie (h) und einer blauen gekennzeichnet.
> die Funktion nach x Aufgelöst habe sondern nach z sind die
> Grenzen doch anders? Ist die Kreisfläche der x-y Ebene
> sozusagen der Boden meines "Gefäßes"? und ich muss nun die
> Parabel die auf dem Boden steht um die z-Achse rotieren
> lassen (wieder die Frage der Grenzen)? Oder habe ich mir
> dieses Gebilde falsch vorgestellt? Magician
Ich beschreibe mal meine Sichtweise. Wenn man die Parabel oben (siehe Plot) umd die z-Achse rotieren läßt, dann entsteht ein Gefäß, das im Ursprung die x-y-Ebene berührt. Von den Seiten sehen seine Umrisse wie eine Normalparabel aus, von oben (bzw. unten) wie ein Kreis mit dem Radius [mm] $2*\wurzel{h}$.
[/mm]
Deine Volumenformel beruht nun auf einer Summierung von Kreisflächeninhalten, du mußt dir das so vorstellen:
Das Gefäßt wird parallel zur x-y-Ebene durchschnitten, sagen wir, in der Höhe z. Dieser Kreis hat den Radius $f(z)$, sein Inhalt folglich [mm] $\pi*f(z)^2$. [/mm] Die Volumenformel summiert jetzt so zu sagen über sämtliche solche Kreisscheiben, die zwischen [mm] $0\le z\le [/mm] h$ liegen; das ist von ganz unten am Ursprung (z=0, Kreisradius ebenfalls 0) bis ganz oben bei $z=h$, Kreisradius [mm] $\sqrt{h}$.
[/mm]
Ist das so beschrieben jetzt deutlicher geworden? Falls nicht, frage bitte nach.
Alles Gute,
Marc.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:25 Mo 15.03.2004 | | Autor: | Magician |
Vielen Dank für deine Hilfe, nun ist es mir klar geworden. Bei meiner Überlegung hatte ich nicht bedacht, dass der Radius [mm]\wurzel(h)[/mm] ist und nicht h. Ich versuche nun das ganze mit Polarkoordinaten herauszufinden... Also erstmal vielen Dank, Magician.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:41 Sa 10.04.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Magician, hallo marc und andere
ich hoffe, dass die obige Aufgabe noch von einigem Interesse ist.
In der Antwort von marc und in der Schlussbemerkung steht ja noch was von Polarkoordinaten, und es ist noch nicht klar, ob das mit den Polarkoordinaten gelungen ist. marc weiss so auf die Schnelle nicht (mehr), wie das funktioniert. Vielleicht helfen euch meine paar Bemerkungen, die Regeln dafür besser im Gedächtnis zu behalten? Ich will aber nicht das Gewicht auf mathematische Strenge, sondern eher auf Anschauung Wert legen.
Nun die erste Bemerkung: wie mir marc in einem anderem Beitrag kürzlich erklärt hat, muss man die Aufgaben immer zuerst auf Fehler hin überprüfen, die vorhandenen Fehler ausmerzen und sich noch überlegen, ob die resultierende Fragestellung noch genug interessant ist.
Also mal den Fehler wegnehmen: es handelt sich wahrscheinlich nicht darum, die Aufgabe mit Polarkoordinaten zu lösen, sondern mit Zylinderkoordinaten.
Jetzt will ich euch mal etwas von meinem "Schwarzen Loch" erzählen:
Wenn man ein Volumen zu berechnen hat, so muss man sich nicht unbedingt so vorstellen, dass man den Raum ausmessen muss. Man darf sich auch vorstellen, dass der Raum mit einer Materie (spezifisches Gewicht = 1) gefüllt sei, welche man mit einer gewaltigen Presse zusammenpresst, bis ein schwarzes Loch entsteht. Zuerst z.B. bewegt sich der Press-Kolben parallell zur z-Achse und presst die ganze Materie zusammen auf die x-y-Ebene. Bei unserm Beispiel entsteht dann ein Kreis um den Ursprung mit Radius [mm]\wurzel{h}[/mm]. In diesem Kreis ist die Materiendichte aber nicht mehr 1, sondern entspricht im Punkt (x,y)(resp. Flächenelement [mm]dxdy[/mm]) der Materie, welche vor dem Pressen über diesem Punkt (Flächenelement) war. (D.h. es muss entlang z integriert werden, und zwar innerhalb der geeigneten Grenzen, für unser Beispiel also [mm]\int_{x^2+y^2}^{h} 1\, dz[/mm], weil ja nur die Materie interessiert, die sich zwischen [mm](x^2+y^2)[/mm] und [mm]h[/mm] befindet.)
Den nächsten Press-Vorgang machen wir z.B. entlang der y-Achse - von der negativen und von der positive Seite aus in Richtung Null - (wir befinden uns jetzt nur noch in der x-y-Ebene), so dass unsere ganze Materie auf der x-Achse zusammengepfercht wird. Das heisst also wieder die Dichte neu berechnenen (Integrieren entlang y, der Pressrichtung, jetzt aber nicht mehr die Funktion 1, sondern die Auswertung aus dem Integral, das wir beim ersten Pressvorgang erhalten haben, ich meine, es sollte [mm]h - x^2 - y^2[/mm] sein.  ). Dieses Integral lautet also [mm]\int_{-\wurzel{h-x^2}}^{+\wurzel{h-x^2}} (h-x^2-y^2)\, dy[/mm].
Den dritten Pressvorgang will ich nicht mehr so im Detail beschreiben, er sollte klar sein: es ist dann noch das Integral entlang der x-Achse zu berechnen, und zwar mit den Grenzen [mm]-\wurzel {h}[/mm] und [mm]+\wurzel {h} [/mm]. Nach diesem letzten Pressvorgang ist unsere ganze Materie im Nullpunkt vereint, also wie in einem schwarzen Loch (das wir gerade gewogen haben).
Was hat das Ganze aber mit einer Koordinatentransformation zu tun?
Noch gar nichts!! Aber: der Pressvorgang muss ja gar nicht entlang einer geraden Strecke gemacht werden! In oben beschriebener 2. Pressung muss ich nämlich nicht unbedingt parallel zur y-Achse pressen, ich kann nämlich stattdessen einfach mal die positive x-Achse aufschlitzen und den Kreis, den ich komprimieren will, wie einen japanischen Fächer um das Zentrum herum zusammenschieben (hoffentlich kann man dies vorstellen, mir als Schweizer ist die deutsche Sprache halt nicht so geläufig!) Da sich jetzt die Materie entlang konzentrischen Kreisringen, vielleicht mit der infinitesimalen Dicke [mm]dr[/mm] zusammenschiebt, muss die zu integrierende Funktion als Funktion des Abstandes vom Urspring dargestellt werden, also am besten in Polarkoordinaten (ich befinde mich in der x-y-Ebene). Das erreiche ich durch die Substitutionen [mm]x = r cos \varphi[/mm] und [mm]y=r sin \varphi[/mm]. Überstrich ohne Koordinationtransformation beim Schieben in y-Richtung um die Strecke [mm]dy[/mm] das ein Streckenelement [mm]dx[/mm] ein Flächenstück [mm]dxdy[/mm], so überstreicht bei unserem jetzigen japanischen Fächer beim Zusammenschieben um den Winkel [mm]d\varphi[/mm] das Streckenelement [mm]dr[/mm] eine Fläche [mm]dr * r * d\varphi[/mm], es gesellt sich also noch ein Faktor [mm]r[/mm] hinzu. (Das ist ja der Wert der Jacobi-Determinante (oder Funktionaldeterminante) bei Transformation vom kartesischen zum polaren Koordinatensystem, so entsteht er also !)
Jetzt wirds wirklich viel einfacher, man sehe z.B. in unserem Beispiel: die zu integrierende Funktion lautet jetzt nach der Substitution: [mm]h-r^2[/mm], zum integrieren jetzt also beim [mm]dxdy[/mm] durch [mm]r dr d\varphi[/mm] ersetzen. Es entsteht also für den japanischen Fächer:
[mm]\int_{0}^{2\pi} (hr - r^3)\, d\varphi[/mm], das sich zu einfach zu [mm]2\pi (hr - r^3)[/mm] auswerten lässt.
Der 3. Pressvorgang geht dann, für unser Beispiel, nur noch von [mm]0[/mm] bis zu unserem Kreisradius, also [mm]\wurzel{h}[/mm].
Vielleicht bleibt nach dieser bildlichen Darstellung ein Wenig im Gedächtnis hängen?! Eine gute Übung, die ich nur empfehlen kann, wäre z.B. das Ganze mal für Kugelkoordinaten auszuknobeln. (Ist auch nicht besonders schwierig)
Oder auch für das Problem, das Volumen eines Torus zu berechnen, auf diese Weise anzugehen.
Übrigens, wenn ihr nicht das Volumen zu berechnen, sonder eine beliebige skalare Fünktion in einem "Gefäss", wie es Magician auszudrücken pflegt, zu integrieren habt, ist halt einfach am Anfang nicht die Funktion 1 (entspricht der Materiedichte 1), sondern die gegebene Funktion zu integrieren. Ihr habt vielleicht auf eurem Weg zum Abitur einmal das Drehmoment eines Zylinders (bezüglich Zylinderachse) oder einer Kugel berechnet. Holt doch mal diese Berechnungen hervor, die sicher ohne Koordinatentransformation durchgeführt worden war, und berechnet das Ganze mit Koordinatentransformation. Ihr werdet staunen, wie viel einfacher die ganze Rechnung wird. Also nicht Zurückschrecken vor so "kompizierten" Sachen wie der Koordinatentransformation, sondern mit Freuden deren Vorzüge ausnützten!!
Viele Grüsse, und geniesst die Ostern.
Ein kleines Feedback würde mich ungemein freuen!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:56 Mi 04.06.2008 | | Autor: | gianna |
| Aufgabe | Gegeben sei der K¨orper
K = f(x; y; z) 2 R3 j 0 · z · 2 ¡ 2x2 ¡ 8y2g:
Skizzieren Sie K und berechnen Sie sein Volumen.
(Hinweis: Verwenden Sie Koordinaten (x; y; z) = (r cos t; 1
2r sin t; z).) |
hab das obere thema gefunden und das entspricht ja so ziemlich meiner aufgabe. das ,was ich zeichne ähnelt einem paraboloiden, nur mit der spitze oben und ein wenig gestaucht in y -richtung.. mein problem liegt bei der berechnung des volumens. also ich weiß, dass z in den grenzen von 0 und 2 liegt. in der uni haben wir mehrfachintegrierung oft verwendet. sowas wie integral von [mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx} [/mm] dz, aber ich weiß nicht, ob mir das was bringt. bräuchte dringend hilfe. danke
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 11:06 Mi 04.06.2008 | | Autor: | fred97 |
Kannst Du K mal ordentlich aufschreiben ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:29 Mi 04.06.2008 | | Autor: | gianna |
oh ja klar: also [mm] K{(x,y,z)\in \IR ³ | 0 \le z \le 2-2x²-8y²}
[/mm]
|
|
|
|
