Volumen eines kompakten Körper < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:49 Do 22.09.2011 | | Autor: | frank85 |
| Aufgabe | Es sei K der (offensichtlich kompakte) Körper in [mm] R^3,
[/mm]
der berandet wird von den drei Koordinatenebenen
und der Ebene x + 2y + 3z = 6. Skizzieren Sie K und
berechnen Sie das Volumen von K. |
Hallo, neue Aufgabe, gleiches Thema, gleiches Problem: Wie findet man die richtigen Grenzen?
Die gegebene Ebene ist ja x+2y+3z=6
Nun habe ich mir folgendes überlegt:
x=6-2y-3z
[mm] y=3-\bruch{3}{2}z-\bruch{x}{3}
[/mm]
[mm] z=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2}
[/mm]
jetzt liest man die Grenzen einfach ab: [mm] \int_{0}^{6} \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} 2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2} [/mm] dxdydz
warscheinlich stimmt gar nichts von dem integral,oder?
danke für die hilfe!
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Hallo frank85,
> Es sei K der (offensichtlich kompakte) Körper in [mm]R^3,[/mm]
> der berandet wird von den drei Koordinatenebenen
> und der Ebene x + 2y + 3z = 6. Skizzieren Sie K und
> berechnen Sie das Volumen von K.
> Hallo, neue Aufgabe, gleiches Thema, gleiches Problem: Wie
> findet man die richtigen Grenzen?
> Die gegebene Ebene ist ja x+2y+3z=6
> Nun habe ich mir folgendes überlegt:
> x=6-2y-3z
> [mm]y=3-\bruch{3}{2}z-\bruch{x}{3}[/mm]
> [mm]z=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2}[/mm]
> jetzt liest man die Grenzen einfach ab: [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} 2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2}[/mm]
> dxdydz
> warscheinlich stimmt gar nichts von dem integral,oder?
Es stimmt nur das äußere Integral.
Zur Bestimmung der Grenzen ist wie folgt vorzugehen:
Zunächst wird die Ebenengleichung nach z aufgelöst:
[mm]x + 2y + 3z = 6.\Rightarrow z = \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
Damit muß gelten: [mm] 0\le z \le \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
Im Grenzfall gilt: [mm] 0= \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
Daraus erhältst Du die Grenzen für y.
Für die Grenzen von x geht das genauso.
> danke für die hilfe!
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Do 22.09.2011 | | Autor: | frank85 |
Hi MathePower
> > Die gegebene Ebene ist ja x+2y+3z=6
> > Nun habe ich mir folgendes überlegt:
> > [mm]x=6-2y-3z [/mm]
> > [mm]y=3-\bruch{3}{2}z-\bruch{x}{3}[/mm]
> > [mm]z=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2}[/mm]
> > jetzt liest man die Grenzen einfach ab: [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} 2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2}[/mm]
> > dxdydz
> > warscheinlich stimmt gar nichts von dem integral,oder?
>
>
> Es stimmt nur das äußere Integral.
>
> Zur Bestimmung der Grenzen ist wie folgt vorzugehen:
>
> Zunächst wird die Ebenengleichung nach z aufgelöst:
>
> [mm]x + 2y + 3z = 6.\Rightarrow z = \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
Das habe ich ja oben schon so ausgerechnet,ok.
>
> Damit muß gelten: [mm]0\le z \le \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
>
> Im Grenzfall gilt: [mm]0= \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
>
> Daraus erhältst Du die Grenzen für y.
>
> Für die Grenzen von x geht das genauso.
>
>
> > danke für die hilfe!
>
>
> Gruss
> MathePower
[mm]z=\bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
[mm]z=0 \rightarrow 0=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}[/mm]
[mm]\bruch{2}{3}y=2-\bruch{x}{3}[/mm]
[mm]y=3-\bruch{x}{2}[/mm] das ist dann die obergrenze für das mittlere integral, oder auch nicht halt...?!
für x dasselbe:
[mm]0=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}[/mm]
[mm]\bruch{x}{3}=2-\bruch{2}{3}y [/mm]
[mm]x=6-2y [/mm] =obergrenze für das innere integral.
Insgesamt:
[mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} \int_{0}^{6-2y} (2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2})dxdydz[/mm]
und,so gut?
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Hallo frank85,
> Hi MathePower
> > > Die gegebene Ebene ist ja x+2y+3z=6
> > > Nun habe ich mir folgendes überlegt:
> > > [mm]x=6-2y-3z[/mm]
> > > [mm]y=3-\bruch{3}{2}z-\bruch{x}{3}[/mm]
> > > [mm]z=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2}[/mm]
> > > jetzt liest man die Grenzen einfach ab: [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3} \int_{0}^{2} 2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2}[/mm]
> > > dxdydz
> > > warscheinlich stimmt gar nichts von dem
> integral,oder?
> >
> >
> > Es stimmt nur das äußere Integral.
> >
> > Zur Bestimmung der Grenzen ist wie folgt vorzugehen:
> >
> > Zunächst wird die Ebenengleichung nach z aufgelöst:
> >
> > [mm]x + 2y + 3z = 6.\Rightarrow z = \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
>
> Das habe ich ja oben schon so ausgerechnet,ok.
> >
> > Damit muß gelten: [mm]0\le z \le \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
>
> >
> > Im Grenzfall gilt: [mm]0= \bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
> >
>
> > Daraus erhältst Du die Grenzen für y.
> >
> > Für die Grenzen von x geht das genauso.
> >
> >
> > > danke für die hilfe!
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> [mm]z=\bruch{1}{3}\left(6-x-2y\right)[/mm]
> [mm]z=0 \rightarrow 0=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{2}{3}y=2-\bruch{x}{3}[/mm]
> [mm]y=3-\bruch{x}{2}[/mm] das ist dann die obergrenze für das
> mittlere integral, oder auch nicht halt...?!
> für x dasselbe:
> [mm]0=2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}[/mm]
> [mm]\bruch{x}{3}=2-\bruch{2}{3}y[/mm]
> [mm]x=6-2y[/mm] =obergrenze für das innere integral.
> Insgesamt:
> [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} \int_{0}^{6-2y} (2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{2})dxdydz[/mm]
>
> und,so gut?
>
Die Grenzen der ersten beiden Integrale stimmen,
der Integrand muss 1 sein.
Die Grenzen für z habe ich Dir berechnet.
Damit lautet das Integral
[mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} \int_{0}^{\blue{2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}}} \blue{1} \ dz \ dy \ dx[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:22 Fr 23.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Damit lautet das Integral
>
> [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} \int_{0}^{\blue{2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}}} \blue{1} \ dz \ dy \ dx[/mm]
>
>
> Gruss
> MathePower
Wieso muss denn der Integrand 1 sein?
Ich löse:
[mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} \int_{0}^{ {2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}}} \ dz \ dy \ dx[/mm]
[mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} (2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}) \ dy \ dx[/mm]
[mm]\int_{0}^{6}(2\int_{0}^{3-\bruch{x}{2}}y-\bruch{2}{3}\int_{0}^{3-\bruch{x}{2}}y-\bruch{1}{3}x\int_{0}^{3-\bruch{x}{2}}y) \ dx[/mm]
[mm]\int_{0}^{6}(2(3-\bruch{x}{2})-\bruch{2}{3}\bruch{1}{2}(3-\bruch{x}{2}})^2-\bruch{1}{3}x(3-\bruch{x}{2}}) \ dx[/mm]
[mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
[mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
[mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+2x-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
[mm]36-18-18+12-9-18+\bruch{116}{18}[/mm]
[mm]3-18+\bruch{116}{18}[/mm]
[mm]-\bruch{270}{18}+\bruch{116}{18}[/mm]
[mm]-\bruch{77}{9}[/mm]
Stimmts? Vielen Dank fürs Nachrechnen, super super nett
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Hallo frank85,
> > Damit lautet das Integral
> >
> > [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} \int_{0}^{\blue{2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}}} \blue{1} \ dz \ dy \ dx[/mm]
>
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Wieso muss denn der Integrand 1 sein?
Weil das Volumen von K berechnet werden soll.
> Ich löse:
> [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} \int_{0}^{ {2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}}} \ dz \ dy \ dx[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{6} \int_{0}^{3-\bruch{x}{2}} (2-\bruch{2}{3}y-\bruch{x}{3}) \ dy \ dx[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{6}(2\int_{0}^{3-\bruch{x}{2}}y-\bruch{2}{3}\int_{0}^{3-\bruch{x}{2}}y-\bruch{1}{3}x\int_{0}^{3-\bruch{x}{2}}y) \ dx[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{6}(2(3-\bruch{x}{2})-\bruch{2}{3}\bruch{1}{2}(3-\bruch{x}{2}})^2-\bruch{1}{3}x(3-\bruch{x}{2}}) \ dx[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
>
> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
>
Bisher ist alles richtig.
> [mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+2x-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x^2-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
Der blau markierte Teil stimmt nicht.
[mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+\blue{2x-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x^2}-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
> [mm]36-18-18+12-9-18+\bruch{116}{18}[/mm]
> [mm]3-18+\bruch{116}{18}[/mm]
> [mm]-\bruch{270}{18}+\bruch{116}{18}[/mm]
> [mm]-\bruch{77}{9}[/mm]
> Stimmts? Vielen Dank fürs Nachrechnen, super super nett
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Fr 23.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
> Bisher ist alles richtig.
Danke schön!
> Der blau markierte Teil stimmt nicht.
>
> [mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+\blue{2x-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x^2}-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
Dann hier nochmal von da aus weiter
[mm](3x-\bruch{1}{36}x^3-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
[mm]18-\bruch{1}{2}-18+1[/mm]
[mm]\bruch{1}{2}[/mm]
das sieht doch gut aus finde ich :D
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Hallo frank85,
> >
> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
> > Bisher ist alles richtig.
> Danke schön!
> > Der blau markierte Teil stimmt nicht.
> >
> >
> [mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+\blue{2x-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x^2}-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
> Dann hier nochmal von da aus weiter
>
> [mm](3x-\bruch{1}{36}x^3-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
> [mm]18-\bruch{1}{2}-18+1[/mm]
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> das sieht doch gut aus finde ich :D
Stimmt aber trotzdem nicht.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Sa 24.09.2011 | | Autor: | frank85 |
> Hallo frank85,
>
> > >
> >
> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
> > > Bisher ist alles richtig.
> > Danke schön!
> > > Der blau markierte Teil stimmt nicht.
> > >
> > >
> >
> [mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+\blue{2x-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x^2}-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
> > Dann hier nochmal von da aus weiter
> >
> >
> [mm](3x-\bruch{1}{36}x^3-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
> > [mm]18-\bruch{1}{2}-18+1[/mm]
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > das sieht doch gut aus finde ich :D
>
>
> Stimmt aber trotzdem nicht.
>
>
> Gruss
> MathePower
Neuer, gefühlte 50ster, Versuch:
[mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4}))-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
wenns jetzt immernoch nicht stimmt, lass ich die Aufgabe halt einfach so stehen.
Danke für die Hilfe!
[mm]\int_{0}^{6}(6-x)-3+x-\bruch{x^2}{12}-x+\bruch{x^2}{6}dx[/mm]
[mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{12}\bruch{1}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{6}\bruch{1}{3}x^3 |_{0}^{6})[/mm]
[mm]36-18-18-\bruch{216}{36}+\bruch{216}{18}[/mm]
[mm]=6[/mm]
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Hallo frank85,
> > Hallo frank85,
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> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4})-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
> > > > Bisher ist alles richtig.
> > > Danke schön!
> > > > Der blau markierte Teil stimmt nicht.
> > > >
> > > >
> > >
> >
> [mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+\blue{2x-\bruch{1}{4}x^2-\bruch{1}{2}x^2}-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
> > > Dann hier nochmal von da aus weiter
> > >
> > >
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> [mm](3x-\bruch{1}{36}x^3-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{18}x^3)|_{0}^{6}[/mm]
> > > [mm]18-\bruch{1}{2}-18+1[/mm]
> > > [mm]\bruch{1}{2}[/mm]
> > > das sieht doch gut aus finde ich :D
> >
> >
> > Stimmt aber trotzdem nicht.
> >
> >
> > Gruss
> > MathePower
> Neuer, gefühlte 50ster, Versuch:
>
> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-(\bruch{1}{3}(9-6*\bruch{x}{2}+\bruch{x^2}{4}))-(x-\bruch{1}{3}x\bruch{x}{2})dx[/mm]
> wenns jetzt immernoch nicht stimmt, lass ich die Aufgabe
> halt einfach so stehen.
> Danke für die Hilfe!
> [mm]\int_{0}^{6}(6-x)-3+x-\bruch{x^2}{12}-x+\bruch{x^2}{6}dx[/mm]
>
> [mm](6x-\bruch{1}{2}x^2-3x+\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{12}\bruch{1}{3}x^3-\bruch{1}{2}x^2+\bruch{1}{6}\bruch{1}{3}x^3 |_{0}^{6})[/mm]
>
> [mm]36-18-18-\bruch{216}{36}+\bruch{216}{18}[/mm]
> [mm]=6[/mm]
Jetzt stimmt's. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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