www.vorhilfe.de
Vorhilfe

Kostenlose Kommunikationsplattform für gegenseitige Hilfestellungen.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Englisch
  Status Grammatik
  Status Lektüre
  Status Korrekturlesen
  Status Übersetzung
  Status Sonstiges (Englisch)

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Integration" - Volumen elliptischer Kegel
Volumen elliptischer Kegel < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Volumen elliptischer Kegel: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 15:05 Di 24.11.2015
Autor: Teryosas

Aufgabe
Berechnen Sie unter Verwendung elliptischer Zylinderkoordinaten das Volumen [mm] \mu(K) [/mm] des elliptischen Kegels K [mm] \subseteq \IR^3 [/mm] mit den folgenden Eigenschaften:

-die Achse des Kegels stimmt mit der x-Achse überein,
-die Spitze des Kegels zeigt in positive Richtung,
der Kegel besitzt die Grundfläche x=0, [mm] \bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9} \le R^2 [/mm] und die Höhe h (der Abstand von Grundfläche zur Spitze.

Dabei sind R und h positiv reelle Konstanten.

hey Leute,

Habe hier einen möglichen Lösungsweg und würde nun gerne wissen ob jener richtig ist?

Nach Transformation:
T(r, [mm] \phi, [/mm] z) = [mm] (rcos(\phi), 2rsin(\phi), [/mm] 3z)             mit r [mm] \ge [/mm] 0, [mm] 0\le \phi \le 2\pi [/mm] ,  und z [mm] \in \IR^2 [/mm]

partiell differenzierbar:
[mm] T'(r,\phi, [/mm] z) = [mm] \pmat{ cos(\phi) & -rsin(\phi) & 0 \\ 2sin(phi) & 2rcos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 3} [/mm]

[mm] detT'(r,\phi, [/mm] z) = [mm] 6rcos^2(\phi) [/mm] + [mm] 6rsin^2(\phi) [/mm] = 6r

Darstellung des Kegels:
K = (x,y,z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] h, [mm] \wurzel{\bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9}} \le [/mm] R(1-x/h)
K = [mm] (rcos(\phi), 2rsin(\phi), [/mm] 3z) [mm] \in \IR^3 [/mm] | 0 [mm] \le \phi \le 2\pi, [/mm] 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] h, 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] R(1-x/h)

Mit R(1-x/h) für 0 [mm] \le [/mm] x [mm] \le [/mm] h erhält man:
[mm] \mu(K) [/mm] = [mm] \integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{R(1-x/h)}{\integral_{0}^{2\pi}{6r d\phi dr dz}}} [/mm]

stimmt das so?
LG :)

        
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 09:08 Mi 25.11.2015
Autor: Teryosas


> Berechnen Sie unter Verwendung elliptischer
> Zylinderkoordinaten das Volumen [mm]\mu(K)[/mm] des elliptischen
> Kegels K [mm]\subseteq \IR^3[/mm] mit den folgenden Eigenschaften:
>  
> -die Achse des Kegels stimmt mit der x-Achse überein,
>  -die Spitze des Kegels zeigt in positive Richtung,
> der Kegel besitzt die Grundfläche x=0,
> [mm]\bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9} \le R^2[/mm] und die Höhe h (der
> Abstand von Grundfläche zur Spitze.
>
> Dabei sind R und h positiv reelle Konstanten.
>  hey Leute,
>
> Habe hier einen möglichen Lösungsweg und würde nun gerne
> wissen ob jener richtig ist?
>  
> Nach Transformation:
>  T(r, [mm]\phi,[/mm] z) = [mm](rcos(\phi), 2rsin(\phi),[/mm] 3z)            
> mit r [mm]\ge[/mm] 0, [mm]0\le \phi \le 2\pi[/mm] ,  und z [mm]\in \IR^2[/mm]
>  
> partiell differenzierbar:
>  [mm]T'(r,\phi,[/mm] z) = [mm]\pmat{ cos(\phi) & -rsin(\phi) & 0 \\ 2sin(phi) & 2rcos(\phi) & 0 \\ 0 & 0 & 3}[/mm]
>  
> [mm]detT'(r,\phi,[/mm] z) = [mm]6rcos^2(\phi)[/mm] + [mm]6rsin^2(\phi)[/mm] = 6r
>  
> Darstellung des Kegels:
>  K = (x,y,z) [mm]\in \IR^3[/mm] | 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] h,
> [mm]\wurzel{\bruch{y^2}{4}+\bruch{z^2}{9}} \le[/mm] R(1-x/h)
>  K = [mm](rcos(\phi), 2rsin(\phi),[/mm] 3z) [mm]\in \IR^3[/mm] | 0 [mm]\le \phi \le 2\pi,[/mm]
> 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] h, 0 [mm]\le[/mm] r [mm]\le[/mm] R(1-x/h)
>  
> Mit R(1-x/h) für 0 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] h erhält man:
>   [mm]\mu(K)[/mm] =
> [mm]\integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{R(1-x/h)}{\integral_{0}^{2\pi}{6r d\phi dr dz}}}[/mm]
>  
> stimmt das so?
>  LG :)

hab gerade glaub selbst noch nen Fehler entdeckt. Es müsste heißen
[mm] \integral_{0}^{h}{\integral_{0}^{R(1-x/h)}{\integral_{0}^{2\pi}{6r d\phi dr dx}}} [/mm] mit dx hinten und nicht dz sonst bleibt ein x im Ergebnis übrig.
Käme auch dann auf das Endergebnis:
= [mm] \bruch{\pi*r*R^2*h}{3} [/mm]
Kann das sein?

Bezug
                
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:00 Mi 25.11.2015
Autor: chrisno

Das kann nicht sein. Wo kommt das r her? Der Rest des Ergebnisses sieht gut aus.Die Rechnung habe ich nicht kontrolliert.

Bezug
                        
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:22 Mi 25.11.2015
Autor: Teryosas


> Das kann nicht sein. Wo kommt das r her? Der Rest des
> Ergebnisses sieht gut aus.Die Rechnung habe ich nicht
> kontrolliert.

Das r kommt von der Koordinatentransformation von kart. Koordinaten in Zylinderkoordinaten:
laut Skript meines Prof ist dann:
[mm] x=rcos\phi [/mm]
[mm] y=rsin\phi [/mm]
z= z

Bezug
                                
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:54 Mi 25.11.2015
Autor: chrisno

Du hast doch über r integriert. Damit ist es weg. Außerdem zeigt schon die Einheitenkontrolle, das Dein Ergebnis das Volumen in [mm] $m^4$ [/mm] misst. Das sollte Dir auch nicht gefallen.

Bezug
                                
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:29 Mi 25.11.2015
Autor: leduart

Hallo
deine Transformationsmatrix hat was mit einem Kegel um die z Achse zu tun, deiner geht aber um die x Achse.
dem Volumen ist allerdings egal wie du den Kegel im Raum hast ,aber für die gestellte Aufgabe soll es ja ein Kegel mit der Grundfläche in der y-z Ebene sein.
zur Kontrolle Elementar; Kegel Geldfläche *Höhe/3,  Grundfläche [mm] a*b*\pi [/mm] wenn die Achsen a und b sind.
Gruß leduart

Bezug
                                        
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:26 Do 26.11.2015
Autor: Teryosas


> Hallo
>  deine Transformationsmatrix hat was mit einem Kegel um die
> z Achse zu tun, deiner geht aber um die x Achse.
>  dem Volumen ist allerdings egal wie du den Kegel im Raum
> hast ,aber für die gestellte Aufgabe soll es ja ein Kegel
> mit der Grundfläche in der y-z Ebene sein.
>  zur Kontrolle Elementar; Kegel Geldfläche *Höhe/3,  
> Grundfläche [mm]a*b*\pi[/mm] wenn die Achsen a und b sind.
>  Gruß leduart

Wie erstelle ich denn dann eine Transformationsmatrix für die x-Achse?

PS: Mein Ergebnis ist tatsächlich falsch. Hab ausversehen r statt 6 geschrieben. Lauten sollte es eigentlich [mm] :\bruch{6\pi R^2h}{3} [/mm]

Bezug
                                                
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Do 26.11.2015
Autor: Al-Chwarizmi


> Wie erstelle ich denn dann eine Transformationsmatrix für
> die x-Achse?


Hallo Teryosas,

ich würde den Kegel so parametrisieren:

Die in der y-z-Ebene liegende Grundellipse hat die
Halbachsen a=2R  (auf y-Achse) und b=3R (auf z-Achse).
Parametrisiert:  $\ x=0$ , [mm] y=2R*cos(\varphi) [/mm] , [mm] z=3R*sin(\varphi) [/mm]

Für jedes $\ x$ mit $\ [mm] 0\le x\le [/mm] h$  haben wir eine (Rand-) Ellipse:

[mm] y=2R_x*cos(\varphi) [/mm] , [mm] z=3R_x*sin(\varphi) [/mm]

wobei  [mm] R_x= R*(1-\frac{x}{h}) [/mm]

Die Integrationsgrenzen für die 3 Integrations-
variablen sind dann:

   $\ r$ von $\ 0$ bis [mm] R_x [/mm]

   [mm] \varphi [/mm] von $\ 0$ bis [mm] 2\pi [/mm]

   $\ x$ von $\ 0$ bis $\ h$

Die Transformation durch eine Matrix darzustellen,
überlasse ich dir.

LG  ,   Al-Chwarizmi

Bezug
                                                        
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:21 Fr 27.11.2015
Autor: Teryosas


> > Wie erstelle ich denn dann eine Transformationsmatrix für
> > die x-Achse?
>  
>
> Hallo Teryosas,
>  
> ich würde den Kegel so parametrisieren:
>  
> Die in der y-z-Ebene liegende Grundellipse hat die
>  Halbachsen a=2R  (auf y-Achse) und b=3R (auf z-Achse).
>  Parametrisiert:  [mm]\ x=0[/mm] , [mm]y=2R*cos(\varphi)[/mm] ,
> [mm]z=3R*sin(\varphi)[/mm]
>
> Für jedes [mm]\ x[/mm] mit [mm]\ 0\le x\le h[/mm]  haben wir eine (Rand-)
> Ellipse:
>  
> [mm]y=2R_x*cos(\varphi)[/mm] , [mm]z=3R_x*sin(\varphi)[/mm]
>  
> wobei  [mm]R_x= R*(1-\frac{x}{h})[/mm]
>  
> Die Integrationsgrenzen für die 3 Integrations-
>  variablen sind dann:
>  
> [mm]\ r[/mm] von [mm]\ 0[/mm] bis [mm]R_x[/mm]
>  
> [mm]\varphi[/mm] von [mm]\ 0[/mm] bis [mm]2\pi[/mm]
>  
> [mm]\ x[/mm] von [mm]\ 0[/mm] bis [mm]\ h[/mm]
>  
> Die Transformation durch eine Matrix darzustellen,
>  überlasse ich dir.
>  
> LG  ,   Al-Chwarizmi  

Wenn ichs jetzt richtig verstanden habe komme ich auf so etwas:

[mm] T(x,R_{x}, \varphi)=(0, 2R_x*cos(\varphi), 3R_x*sin(\varphi)) [/mm] = (0, [mm] 2*R*(1-\frac{x}{h})*cos(\varphi), 3*R*(1-\frac{x}{h})*sin(\varphi)) [/mm]

Das partiell abgeleitet ergibt:

T'(x, [mm] R_{x}, \varphi) [/mm] = [mm] \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ -\bruch{2Rcos/\varphi)}{h} & 2*(1-\frac{x}{h})*cos(\varphi) & -2r (1- \bruch{x}{h}sin(\varphi)\\-\bruch{3Rsin/\varphi)}{h} & 3*(1-\frac{x}{h})*sin(\varphi) &3*R*(1-\frac{x}{h})*cos(\varphi) } [/mm]

und käme somit auf ein detT'(x, [mm] R_{x}, \varphi) [/mm] = 0. wodurch gleichzeitig das Volumen null werden würde.
Wo liegt der Fehler?


Bezug
                                                                
Bezug
Volumen elliptischer Kegel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:08 Fr 27.11.2015
Autor: Jule2

$ [mm] T(x,R_{x}, \varphi)=(0, 2R_x\cdot{}cos(\varphi), 3R_x\cdot{}sin(\varphi)) [/mm] $ = (0, $ [mm] 2\cdot{}R\cdot{}(1-\frac{x}{h})\cdot{}cos(\varphi), 3\cdot{}R\cdot{}(1-\frac{x}{h})\cdot{}sin(\varphi)) [/mm] $
Das kann nicht stimmen wieso ist x bei dir konstant null so bestimmst du ja nur die Oberfläche in der y-z-Ebene

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Integration"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.englischraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]