Volumen mithilfe vom Integral < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:28 Di 05.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo schon wieder...
Ich habe mich jetzt mal an ein paar Aufgaben aus Büchern gemacht:
Sei [mm] 0
Ich weiß zwar mittlerweile, wie ein Torus aussieht, aber ich kann mir diese Konstruktion hier nicht vorstellen. Wenn doch die y-Koordinate =0 ist, wie rotiert das Ganze dann um die z-Achse? Irgendwie habe ich da wohl gerade nen Brett vorm Kopf. ![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]")
Nächste Aufgabe:
Man integriere die Funktion [mm] x^ny^m, n,m\in\IN, [/mm] über den Kreis [mm] \overline{K}_r(0), [/mm] das Quadrat [mm] [0,1]^2 [/mm] und das Dreieck [mm] \Delta^2.
[/mm]
Über den Kreis bekomme ich das irgendwie nicht hin. Der Kreis wäre doch folgendes, oder?
[mm] \overline{K}_r(0)=\{x\in\IR^d, \summe_{i=1}^{d}x_i^2\le r^2\}
[/mm]
So ganz sicher bin ich mir allerdings nicht...
Vor allem weiß ich nicht, wie ich mit den beiden natürlichen Zahlen umgehen soll. Gilt vielleicht n+m=d oder so? Aber da steht nirgendwo etwas...
Könnte mir hierfür vielleicht jemand einen Ansatz geben?
Über das Quadrat habe ich das folgendermaßen gemacht:
[mm] \integral_{[0,1]^2}x^ny^md(x,y)=\integral_{0}^{1}x^n\integral_{0}^{1}y^m\; dy\; dx=\integral_{0}^{1}x^n[\bruch{1}{m+1}y^{m+1}]_{0}^{1}\;dx =\integral_{0}^{1}\bruch{x^n}{m+1}dx=\bruch{1}{m+1}\bruch{1}{n+1}[x^{n+1}]_{0}^{1} =\bruch{1}{(m+1)(n+1)}
[/mm]
Stimmt das so? Ansonsten wüsste ich nicht, wie ich das machen soll...
Und für den letzten Teil fehlt mir leider die Definition von [mm] \Delta^2. [/mm] Kann mir jemand sagen, wie das definiert ist?
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:18 Di 05.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Nur eine notdürftige Skizze zum Torus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Wenn du das jetzt um die $z$-Achse drehst, bekommst du einen Torus (stell dir einen Donut oder Autoreifen vor, ...).
Liebe Grüße
Stefan
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Di 05.04.2005 | | Autor: | Bastiane |
So.
> Sei [mm]0
> Rotation der Kreisscheibe [mm]K:=\{(x,y,z)\in\IR^3:y=0, (x-R)^2+z^2\le r^2\}[/mm]
> um die z-Achse entsteht. Man berechne das Volumen von T.
Nachdem ich jetzt weißt, wie der Torus aussieht, habe ich mal die Aufgabe versucht.
Aber irgendwie komme ich da wieder mal mit den Integrationsgrenzen nicht so ganz klar. Von wo bis wo müsste denn x gehen? Ich würd ja sagen von (x-r) bis (x+r), könnte das sein? (wobei ich schon wieder durcheinander komme - ist der Radius des Kreises r? oder R? jedenfalls meine ich eigentlich diesen mit meinem r) Und z geht dann von [mm] -\wurzel{r^2-x^2} [/mm] bis halt zu dem Positiven davon. Irgendwie stimmt das nicht so ganz, aber ich weiß nicht, wie ich das ausdrücken soll, ich finde die Schreibweise von dem Torus etwas verwirrend.
Aber mit der y-Koordinate komme ich überhaupt nicht klar - welche Grenzen hat die denn? Ich müsste doch hier quasi einmal ganz rum, also 360°. Muss da dann 0 und [mm] 2\pi [/mm] hin oder wie?
Viele Grüße
Bastiane
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:19 Di 05.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo Bastiane
Du nimmst die Funktion z= [mm] \wurzel{r^{2}-(x-R)^{2}},dabei [/mm] ist r der Radius des kleinen Kreises, R die Lage des Mittelpkts auf de x-Achse, du rotierst den teil von x=R bis x=R+r. dann hast du noch keinen Donut, es fehlt das Loch. also musst du noch den Rotationskörper von x=R-r bis x=R abziehen: [mm] \integral_{0}^{r} {\pi*x^2dz}- \integral_{r}^{0} {\pi*x^2dz}
[/mm]
Hoffe das hilft
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:43 Di 05.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Am besten du parametrisierst den Torus (trigonometrisch) und wendest die mehrdimensionale Transformationsformel an, so wie es ![[]](/images/popup.gif) hier gemacht wurde. Sonst wird es echt schwierig, fürchte ich...
Liebe Grüße
Stefan
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:35 Di 05.04.2005 | | Autor: | leduart |
Hallo
Kreis, Dreieck und Quadrat machen nur in 2d Sinn. Dann Kreis: x=rcos [mm] \phi y=rsin\phi [/mm] integrieren über rund [mm] \phi. [/mm] n,m irgendwelche ganzen Zahlen, dann wird aber das Integral glaub ich fies.
Dreieck: einfach ein Dreieck eine Seite am besten auf einer Achse oder Spitze im Nullpkt. und Seite parallel zur Achs. Wahrscheinlich ist ein gleichseitiges Dreieck gemeint.
Hör bitte auf, so auf deinen Kopf einzuhauen!Die Leute hier brauchen dich noch!
Gruss leduart
|
|
|
|
