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Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Volumen zwischen Flächen
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Volumen zwischen Flächen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:49 Mi 18.06.2008
Autor: chrisi99

Aufgabe
bestimme das VOlumen, dass von den zwei Flächen eingeschlossen wird



z = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] und z = 7 + 2x − 2y



Könnt ihr mir da helfen?

Vermutlich ein eher einfaches Problem, aber ich weiß nicht einmal, wie ich das ansetzen soll?


lg
Chris

        
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Starthilfe
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:19 Mi 18.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> bestimme das VOlumen, dass von den zwei Flächen
> eingeschlossen wird
>  
> z = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] und z = 7 + 2x − 2y
>  
> Vermutlich ein eher einfaches Problem,

         na ja, es geht ...

> aber ich weiß nicht
> einmal, wie ich das ansetzen soll?
>  
> lg
>  Chris

=======================================================

Hallo Chris,

kannst du dir die beiden Flächen anschaulich vorstellen ?

Die erste ist ein nach oben (in positiver z-Richtung)
geöffnetes Rotationsparaboloïd, die zweite offensichtlich
eine Ebene, die im Punkt (0/0/7) die z-Achse schneidet
und im übrigen schief liegt.
Das eingeschlossene Volumen liegt über der Paraboloïd-
fläche und unter der Ebene. Beide Flächen schneiden
sich in einer geschlossenen Randkurve, und zwar einer
Ellipse.

Zunächst solltest du dich also etwas um diese Randkurve
und insbesondere ihre Projektion auf die x-y-Ebene
kümmern...

LG



Bezug
                
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:16 Mi 18.06.2008
Autor: chrisi99

Danke für deine guter Erklärung!


leider kann ich mir trotzdem noch nicht so recht vorstellen, was zu tun ist! :(

Projektion auf x-y heißt ja x=y=0, oder?

ich habe hier viele Bsp mit kurzer Lösung, aber da steht dann immer nur lapidar "wie man sieht ist..." etc, ...

ich bin ja dazu über gegangen die Flächen mal zu plotten, damit ich mir wenigstens was drunter vorstellen kann ... aber leider ist das ein etwas wackeliger Behelf ;)

lg.

Bezug
                        
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:20 Mi 18.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi

  
> Projektion auf x-y heißt ja x=y=0, oder?

nein,  hier heisst es einfach  "z vergessen"

Die beiden Flächen schneiden sich entlang der
Kurve   k:   [mm] z=x^2+y^2=7+2x-2y [/mm]

Die Gleichung   [mm] x^2+y^2=7+2x-2y [/mm]  ist die Gleichung
der Projektion  k' (Grundriss) von k auf die x-y-Ebene.  
Man kann sie etwas umformen und erkennt dann, dass
k'  ein Kreis ist !

(das eröffnet schon die Möglichkeit einer eventuellen
Transformation auf Polarkoordinaten !)

Generell müsste die nachfolgende Integration etwa
so aussehen:

          [mm] \integral_{\varphi=0}^{2 \pi}\ \integral_{r=0}^{R}\quad \integral_{z=z_{Paraboloïd}}^{z_{Ebene}} [/mm] dV
  


Bezug
                                
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:20 Mi 18.06.2008
Autor: chrisi99

Wie kann ich das in einen Kreis umschreiben?


die Kreisgleichung lautet ja:


[mm] (x-x_0)^2 [/mm] + [mm] (y-y_0)^2 [/mm] = [mm] r^2 [/mm]

fehlt mir da nicht ein Term?

lg
Chris

Bezug
                                        
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:25 Mi 18.06.2008
Autor: weduwe


> Wie kann ich das in einen Kreis umschreiben?
>  
>
> die Kreisgleichung lautet ja:
>  
>
> [mm](x-x_0)^2[/mm] + [mm](y-y_0)^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
>  
> fehlt mir da nicht ein Term?
>  
> lg
>  Chris

stichwort: quadratische ergänzung

[mm] (x-1)^2+(y+1)^2=9 [/mm]


Bezug
                                
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:08 Mi 18.06.2008
Autor: chrisi99

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Danke für euer aller Hilfe!


$ \integral_{p=0}^{2 \pi}\ \integral_{r=0}^{3}\quad \integral_{z=2 r^2}^{7+2r cos(p) -2r sin(p)}} r d\varphi dr dz $


da dV ja auch in Zylinderkoordinaten...

zuerst dz, dann dr, dann d\varphi



\integral_{p=0}^{2 \pi}(21+9cos(p)-9 sin(p) -6) d\varphi

Sin und cos über 2\pi sind null, also bleibt noch


(21-6) \pi = 15 \pi


stimmt das so weit? :)


lg
Chris







Bezug
                                        
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:30 Mi 18.06.2008
Autor: Al-Chwarizmi


> Danke für euer aller Hilfe!
>  
>
> [mm]\integral_{p=0}^{2 \pi}\ \integral_{r=0}^{3}\quad \integral_{z=2 r^2}^{7+2r cos(p) -2r sin(p)}} r d\varphi dr dz[/mm]          [notok]

         --->  entweder alles  [mm] \varphi [/mm]  oder alles  p ...  

         die untere Grenze für die z-Integration ist nicht 2 [mm] r^2 [/mm] sondern [mm] r^2 [/mm] !

> da dV ja auch in Zylinderkoordinaten...
>  
> zuerst dz, dann dr, dann [mm]d\varphi[/mm]        [ok]
>  

> [mm]\integral_{p=0}^{2 \pi}(21+9cos(p)-9[/mm] sin(p) -6) [mm]d\varphi[/mm]
>  
> Sin und cos über [mm]2\pi[/mm] sind null, also bleibt noch
>  
> (21-6) [mm]\pi[/mm] = 15 [mm]\pi[/mm]
>  
> stimmt das so weit? :)

         nicht ganz

         als Schlussergebnis habe ich  [mm] \bruch{81}{2} \pi [/mm]  erhalten

lg

al-Chwarizmi


Bezug
                                                
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:48 Mi 18.06.2008
Autor: chrisi99

Danke! Wird wohl ander falschen Grenze gelegen haben! :)


lg
Chris

Bezug
        
Bezug
Volumen zwischen Flächen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:38 Mi 18.06.2008
Autor: abakus


> bestimme das VOlumen, dass von den zwei Flächen
> eingeschlossen wird
>  
>
>
> z = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] und z = 7 + 2x − 2y
>  
>
>
> Könnt ihr mir da helfen?
>  
> Vermutlich ein eher einfaches Problem, aber ich weiß nicht
> einmal, wie ich das ansetzen soll?

Ein Patentrezept hae ich auch nicht. Es handelt sich aber um einen schräg angeschnittenen Rotationskörper (siehe Skizze). Den Rotationskörper kann man leicht berechnen, das abgescnittene Stück muss sicher schichtenweise mit Integralrechnung bestimmt werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]

Gruß Abakus

>  
>
> lg
>  Chris


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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