Volumenberechnung/Kugelkoord. < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
| Aufgabe | (Volumenberechnung mit Kugelkoordinaten)
Skizzieren Sie grob die Menge B und berecnen Sie ihr Volumen:
B:= {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3}: z^{2} \ge x^{2}+y^{2} [/mm]
und 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \wurzel{1-x^{2}-y^{2}} [/mm] }. |
Hallo,
als Skizze habe ich einen Zylinder, dessen Grundfläche ein Kreis um den
Nullpunkt ist , wobei [mm] z^{2}=\bruch{1}{2} [/mm] und z = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}}.
[/mm]
Wenn ich das Volumen mit Kugelkoordinaten berechnen möchte, was soll
f bei der Transformationformel
[mm] \integral_{B}^{}{f(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{T}^{}{f(rcos \theta cos \phi, rcos \theta sin \phi, rsin \theta)r^{2}cos\theta d(r, \theta, \phi)}
[/mm]
sein ?
Gruss
Igor
|
|
| |
|
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Igor1,
> (Volumenberechnung mit Kugelkoordinaten)
> Skizzieren Sie grob die Menge B und berecnen Sie ihr
> Volumen:
> B:= {(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}: z^{2} \ge x^{2}+y^{2}[/mm]
> und 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le \wurzel{1-x^{2}-y^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Hallo,
>
> als Skizze habe ich einen Zylinder, dessen Grundfläche ein
> Kreis um den
> Nullpunkt ist , wobei [mm]z^{2}=\bruch{1}{2}[/mm] und z =
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}.[/mm]
> Wenn ich das Volumen mit Kugelkoordinaten berechnen
> möchte, was soll
> f bei der Transformationformel
> [mm]\integral_{B}^{}{f(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{T}^{}{f(rcos \theta cos \phi, rcos \theta sin \phi, rsin \theta)r^{2}cos\theta d(r, \theta, \phi)}[/mm]
>
> sein ?
Da hier nichts weiteres angegeben ist, ist f=1.
>
> Gruss
> Igor
>
Gruß
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Fr 17.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
warum ist f=1 ? (das habe ich schon auch bei anderen ähnlichen Aufgaben gesehen)
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
Hallo Igor1,
> Hallo,
>
> warum ist f=1 ? (das habe ich schon auch bei anderen
> ähnlichen Aufgaben gesehen)
Weil sich das Volumenelement zu
[mm]dV=dx \ dy \ dz= 1 \ dx \ dy \ dz[/mm]
ergibt.
>
> Gruss
> Igor
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:27 Fr 17.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wie kommst du auf EINEN Zylinder?
du hast doch
1. [mm] z^2>x^2+y^2 [/mm] das ist fuer das = Zeichen Ein Kegel mit spitze in 0
2. [mm] z^2<1-x^2-y^2 [/mm] also [mm] x^2+y^2<1-z^2 [/mm] z>0 also als Rand wieder ein Kegel.
Jetzt zeichne Dein Gesamtgebiet, was beiden Bedingungen genugt erst mal.
ein Zylinder waere [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] unabhaengig von z!
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 21.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
für [mm] z^{2}\le \bruch{1}{2}:
[/mm]
die Kegel hat ihre Spitze in Null und ihre Grundfläche als Kreis auf der
Höhe von [mm] z^{2}= \bruch{1}{2}. [/mm]
Jetzt habe ich die Frage : was passiert dann mit der Skizze für [mm] z^{2} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2}? [/mm] Ist das wieder dieselbe Kegel ,nur umgedreht, also mit
der Grundfläche als Kreis auf der Höhe [mm] z^{2}= \bruch{1}{2} [/mm] und der Spitze in z=1?
Dann habe ich noch eine Frage:
Im Lösungsvorschlag von der Uni steht im Gegensatz zum Oben, dass eine abgeschlossene "Eistüte", die aus der abgeschlossenen Einheitskugel herausgeschnitten wurde, als Skizze herauskommt .
Was bedeutet "Eistüte": Ich denke, dass hier eine Kegel als "Waffel" und "Eis" als Teil (Hälfte?) einer Kugel gemeint wird.
Warum kommt also rundes "Eis" raus und keine Kegel wie bei der "Waffel"?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:54 Di 21.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
woher kommt ploetzlich das [mm] z^2\le [/mm] 1/2? Der Kegel der Gleichung hoert nie auf, beschraenkt wird er oben durch die Kugel.
zum Rest siehe meine andere Antwort.
(es heisst der Kegel)
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:25 Di 21.07.2009 | | Autor: | abakus |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> (Volumenberechnung mit Kugelkoordinaten)
> Skizzieren Sie grob die Menge B und berecnen Sie ihr
> Volumen:
> B:= {(x,y,z) [mm]\in \IR^{3}: z^{2} \ge x^{2}+y^{2}[/mm]
> und 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le \wurzel{1-x^{2}-y^{2}}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
}.
> Hallo,
>
> als Skizze habe ich einen Zylinder, dessen Grundfläche ein
> Kreis um den
Hallo,
das dürfte nicht stimmen. Die erste Ungleichung beschreibt einen Doppelkegel. Die zweite Ungleichung
- schließt den unteren Teilkegel (für negative z) aus
- begrenzt den oberen Kegel durch eine Kugeloberfläche.
Du hast praktisch einen Globus, ziehst um den Nordpol einen Kreis und verbindest jeden Punkt der Kreislinie mit dem Mittelpunkt des Globus.
Gruß Abakus
> Nullpunkt ist , wobei [mm]z^{2}=\bruch{1}{2}[/mm] und z =
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}.[/mm]
> Wenn ich das Volumen mit Kugelkoordinaten berechnen
> möchte, was soll
> f bei der Transformationformel
> [mm]\integral_{B}^{}{f(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{T}^{}{f(rcos \theta cos \phi, rcos \theta sin \phi, rsin \theta)r^{2}cos\theta d(r, \theta, \phi)}[/mm]
>
> sein ?
>
> Gruss
> Igor
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:43 Di 21.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
>>
> > (Volumenberechnung mit Kugelkoordinaten)
> > Skizzieren Sie grob die Menge B und berecnen Sie ihr
> > Volumen:
> > B:= (x,y,z) [mm] \in \IR^{3}: z^{2} \ge x^{2}+y^{2}
[/mm]
> > und 0 [mm] \le [/mm] z [mm] \le \wurzel{1-x^{2}-y^{2}}> [/mm]
> >
Hallo,
> >
> > als Skizze habe ich einen Zylinder, dessen Grundfläche ein
> > Kreis um den
> Hallo,
> das dürfte nicht stimmen. Die erste Ungleichung
> beschreibt einen Doppelkegel. Die zweite Ungleichung
> - schließt den unteren Teilkegel (für negative z) aus
z ist als positiv definiert .
Warum beschreibt die erste Ungleichung einen Doppelkegel?
Wenn ich z von 0 bis 1 laufen lasse, dann werden es immer größere Kreisscheiben sein, die mit steigender Höhe aufeinandergelegt werden.
Nur die erste Gleichung beschreibt doch einen Kegel mit der Spitze in Null und Grundfläche als Kreis bei der Höhe 1 , oder?
> - begrenzt den oberen Kegel durch eine Kugeloberfläche.
> Du hast praktisch einen Globus, ziehst um den Nordpol
> einen Kreis und verbindest jeden Punkt der Kreislinie mit
> dem Mittelpunkt des Globus.
Ich verstehe es nicht so ganz...
Wie ich mir die Situation vorgestellt habe , war:
Ich nehme eine Höhe z.B [mm] z^{2}= z_{0} [/mm] und zeichne auf der Höhe einen
Kreis so, dass die beiden Ungleichungen erfrüllt sind (z.B sei [mm] z_{0}=0,6, [/mm]
dann muss [mm] 0,6=z^{0} \ge x^{2}+y^{2} [/mm] und 0,4 [mm] \ge x^{2}+y^{2}.
[/mm]
Also , insgesamt muss 0,4 [mm] \ge x^{2}+y^{2} [/mm] erfüllt sein. D.h , wenn [mm] z_{0}
[/mm]
=0,6 , dann ist der Kreis auf der Höhe durch die Ungleichung
0,4 [mm] \ge x^{2}+y^{2} [/mm] gegeben. So habe ich mir das für alle [mm] z_{0} [/mm] überlegt und komme irgendwie auf zwei Kegel mit den Eigenschaften:
erster hat die Spitze im Nullpunkt mit Grundfläche als Kreis in der Höhe = [mm] \bruch{1}{2}=z^{2} [/mm] und der zweite steht direkt auf dem ersten mit der Spitze im Punkt (0,0,1).
Wo habe ich falsch gedacht?
> Gruß Abakus
>
>
> > Nullpunkt ist , wobei [mm]z^{2}=\bruch{1}{2}[/mm] und z =
> > [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}}.[/mm]
> > Wenn ich das Volumen mit Kugelkoordinaten berechnen
> > möchte, was soll
> > f bei der Transformationformel
> > [mm]\integral_{B}^{}{f(x,y,z) d(x,y,z)}=\integral_{T}^{}{f(rcos \theta cos \phi, rcos \theta sin \phi, rsin \theta)r^{2}cos\theta d(r, \theta, \phi)}[/mm]
>
> >
> > sein ?
> >
> > Gruss
> > Igor
> >
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Di 21.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
angegeben war:
B:= (x,y,z) $ [mm] \in \IR^{3}: z^{2} \ge x^{2}+y^{2} [/mm] $
Das ist ein Doppelkegel. erst in der naechsten Ungleichung mit 0<z wird er zum einfachen Kegel mit Spitze in 0
und 0 $ [mm] \le [/mm] $ z $ [mm] \le \wurzel{1-x^{2}-y^{2}} [/mm] $ .
das ist ohne z>o die Kugel [mm] x^2+y^2+z^2=1 [/mm] allein dass all Koordinaten gleich vorkommen schliesst doch einen Kegel aus. mit z>0 ist es dann ne Halbkugel.
jetzt zu deiner Ueberlegung bei z=0.6 [mm] z^2=0.36
[/mm]
also [mm] 0.36\ge x^2+y^2
[/mm]
und [mm] 1-z^2=0.64 [/mm] /le [mm] x^2+y^2 [/mm] also liegen die Punkte innerhalb des Kegels.
Wenn du aber hoeher als der Schnittpunkt des Kegels mit der Kugel bist, liegen die Punkte innerhalb der Kugel Zeichne es doch auf.
also sieht es wirklich wie ein kegelfoermiges Eisteil mit flachem Eiskugelstueck drauf aus.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:26 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
> Hallo
> angegeben war:
> B:= (x,y,z) [mm]\in \IR^{3}: z^{2} \ge x^{2}+y^{2}[/mm]
> Das ist
> ein Doppelkegel.
Ich verstehe nicht , warum das ein Doppelkegel ist.(Nur aus den oberen Angaben) Wenn man
z [mm] bzw.z^{2} [/mm] ganz klein nimmt oder zuerst gleich 0 , dann bekommt man
zuerst nur die Spitze vom Kegel und dann wenn man immer höher steigt,
bekommt man in der jeweiligen Höhe einen immer größer werdenden Kreis.
Insgesamt bekommt man einen Kegel der die Spitze im Nullpunkt hat und unendlich hoch ist, oder?
> erst in der naechsten Ungleichung mit 0<z
> wird er zum einfachen Kegel mit Spitze in 0
> und 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le \wurzel{1-x^{2}-y^{2}}[/mm] .
> das ist ohne z>o die Kugel [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] allein dass all
> Koordinaten gleich vorkommen schliesst doch einen Kegel
> aus. mit z>0 ist es dann ne Halbkugel.
>
> jetzt zu deiner Ueberlegung bei z=0.6 [mm]z^2=0.36[/mm]
> also [mm]0.36\ge x^2+y^2[/mm]
> und [mm]1-z^2=0.64[/mm] /le [mm]x^2+y^2[/mm] also
> liegen die Punkte innerhalb des Kegels.
> Wenn du aber hoeher als der Schnittpunkt des Kegels mit
> der Kugel bist, liegen die Punkte innerhalb der Kugel
> Zeichne es doch auf.
> also sieht es wirklich wie ein kegelfoermiges Eisteil mit
> flachem Eiskugelstueck drauf aus.
Ich möchte etwas meine Betrachtungen ergänzen/korrigieren:
Ich habe früher geschrieben , dass der Kegel die Spitze in Null und seine Grundfläche in z= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] hat. Natürlich stimmt das nicht, da z= [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} [/mm] sein muss. Also liegt die Grundfläche auf der Höhe von ungefähr 0,7. D.h , wir haben dann die Kegelpunkte auf den Höhen von 0 bis 0,7. z kann aber auch noch Werte zwischen 0,7 und 1 annehmen.
Wenn ich jetzt nur diese Werte betrachte, dann beginnt in der Höhe von 0,7 eine Kreisfläche (Grundfläche des weiteren Kegels?) . Mit steigender Höhe also zwischen 0,7 und 1 werden die Kreisflächen immer kleiner, bis
im Punkt (0,0,1) keine Kreisfläche mehr vorhanden ist.
Eigentlich ist die Betrachtung bei der oberen Figur (Kegel oder Halbkugel?),angefangen in der Höhe 0,7, war bei mir die gleiche wie bei der unteren Kegel .
Jetzt ist meine Frage: Wenn die Höhe nicht auf 1 beschränkt wäre,sondern beschränkt auf einer geeigneten Höhe, würde
auf der unteren Kegel eine ähnliche Kegel stehen ?
Wenn ich nichtkorrekterweise die Grundfläche des unteren Kegels in der
Höhe 0,5, anstatt der Höhe 0,7 , zeichnen würde, dann habe ich bei meinen Betrachtungen zwei gleiche Kegel herausbekommen, wobei der obere Kegel einfach auf der Grundfläche des unteren Kegels steht.
Da ich mich korrigiert habe und die Grundfläche des unteren Kegels von 0,5 auf die Höhe 0,7 verschoben habe, können es nicht mehr zwei gleiche
Kegel sein, sondern der obere Körper ist ein Teil vom unteren Kegel , genauer : ein Teil des unteren Kegels zwischen 0 und ... wurde abgeschnitten und in der Höhe 0,7 auf den unteren gesetzt.
Ist dieser Teil eine Halbkugel?Bzw. , die Frage einbisschen anderes gestellt: wenn man ein Kegel in einer geweissen Höhe schneidet kommt da was kugelförmiges raus ( hmmm ich glaube nicht....).
Auf jeden Fall steht , nach meiner Betrachtung , auf dem unteren Kegel etwas was dem unteren Kegel sich sehr ähnelt. Meine Frage ist:
wie kommt man da auf etwas kugelförmis und nicht auf etwas kegelförmiges. Oder ist etwas kugelförmiges sehr ähnlich mit dem kegelförmigen?
> Gruss leduart
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:41 Mi 22.07.2009 | | Autor: | abakus |
> > Hallo
> > angegeben war:
> > B:= (x,y,z) [mm]\in \IR^{3}: z^{2} \ge x^{2}+y^{2}[/mm]
> > Das
> ist
> > ein Doppelkegel.
>
> Ich verstehe nicht , warum das ein Doppelkegel ist.(Nur aus
> den oberen Angaben) Wenn man
> z [mm]bzw.z^{2}[/mm] ganz klein nimmt oder zuerst gleich 0 , dann
> bekommt man
> zuerst nur die Spitze vom Kegel und dann wenn man immer
> höher steigt,
> bekommt man in der jeweiligen Höhe einen immer größer
> werdenden Kreis.
Hallo,
man kann von 0 ausgehend z auch negativ werden lassen.
> Insgesamt bekommt man einen Kegel der die Spitze im
> Nullpunkt hat und unendlich hoch ist, oder?
> > erst in der naechsten Ungleichung mit 0<z
> > wird er zum einfachen Kegel mit Spitze in 0
... und Leduard hat dir hier erklärt, warum die untere Hälfte wegfällt.
So etwa sieht es aus:
[Dateianhang nicht öffentlich]
> > und 0 [mm]\le[/mm] z [mm]\le \wurzel{1-x^{2}-y^{2}}[/mm] .
> > das ist ohne z>o die Kugel [mm]x^2+y^2+z^2=1[/mm] allein dass all
> > Koordinaten gleich vorkommen schliesst doch einen Kegel
> > aus. mit z>0 ist es dann ne Halbkugel.
> >
> > jetzt zu deiner Ueberlegung bei z=0.6 [mm]z^2=0.36[/mm]
> > also [mm]0.36\ge x^2+y^2[/mm]
> > und [mm]1-z^2=0.64[/mm] /le [mm]x^2+y^2[/mm]
> also
> > liegen die Punkte innerhalb des Kegels.
> > Wenn du aber hoeher als der Schnittpunkt des Kegels mit
> > der Kugel bist, liegen die Punkte innerhalb der Kugel
> > Zeichne es doch auf.
> > also sieht es wirklich wie ein kegelfoermiges Eisteil
> mit
> > flachem Eiskugelstueck drauf aus.
>
> Ich möchte etwas meine Betrachtungen
> ergänzen/korrigieren:
> Ich habe früher geschrieben , dass der Kegel die Spitze
> in Null und seine Grundfläche in z= [mm]\bruch{1}{2}[/mm] hat.
> Natürlich stimmt das nicht, da z= [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}}[/mm]
> sein muss. Also liegt die Grundfläche auf der Höhe von
> ungefähr 0,7. D.h , wir haben dann die Kegelpunkte auf den
> Höhen von 0 bis 0,7. z kann aber auch noch Werte zwischen
> 0,7 und 1 annehmen.
> Wenn ich jetzt nur diese Werte betrachte, dann beginnt in
> der Höhe von 0,7 eine Kreisfläche (Grundfläche des
> weiteren Kegels?) . Mit steigender Höhe also zwischen 0,7
> und 1 werden die Kreisflächen immer kleiner, bis
> im Punkt (0,0,1) keine Kreisfläche mehr vorhanden ist.
> Eigentlich ist die Betrachtung bei der oberen Figur (Kegel
> oder Halbkugel?),angefangen in der Höhe 0,7, war bei mir
> die gleiche wie bei der unteren Kegel .
> Jetzt ist meine Frage: Wenn die Höhe nicht auf 1
> beschränkt wäre, würde
> auf der unteren Kegel eine ähnliche Kegel stehen ?
> Wenn ich nichtkorrekterweise die Grundfläche des unteren
> Kegels in der
> Höhe 0,5, anstatt der Höhe 0,7 , zeichnen würde, dann
> habe ich bei meinen Betrachtungen zwei gleiche Kegel
> herausbekommen, wobei der obere Kegel einfach auf der
> Grundfläche des unteren Kegels steht.
> Da ich mich korrigiert habe und die Grundfläche des
> unteren Kegels von 0,5 auf die Höhe 0,7 verschoben habe,
> können es nicht mehr zwei gleiche
> Kegel sein, sondern der obere Körper ist ein Teil vom
> unteren Kegel , genauer : ein Teil des unteren Kegels
> zwischen 0 und ... wurde abgeschnitten und in der Höhe
> 0,7 auf den unteren gesetzt.
> Ist dieser Teil eine Halbkugel?Bzw. , die Frage
> einbisschen anderes gestellt: wenn man ein Kegel in einer
> geweissen Höhe schneidet kommt da was kugelförmiges raus
> ( hmmm ich glaube nicht....).
> Auf jeden Fall steht , nach meiner Betrachtung , auf dem
> unteren Kegel etwas was dem unteren Kegel sich sehr
> ähnelt. Meine Frage ist:
> wie kommt man da auf etwas kugelförmis und nicht auf
> etwas kegelförmiges. Oder ist etwas kugelförmiges sehr
> ähnlich mit dem kegelförmigen?
>
>
>
>
> > Gruss leduart
> >
> >
>
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: GIF) [nicht öffentlich]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:13 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo abakus,
danke für das Bild!
Also , was auf der Kegel liegt, ist keine Kugel(Halbkugel oder so) sondern ein Teil des unteren Kegels!?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:39 Mi 22.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Ich habe verstanden wie der untere Teil(der Kegel) des Kugelselektors aussieht, jedoch ich verstehe nicht, wie man auf den oberen Teil kommt?
Warum ist der obere Teil etwas kugelförmiges und nicht kegelförmiges ?
Also , bei meinen Betrachtungen , habe ich den unteren und den oberen Teil symmetrisch gezeichnet; nur bei dem oberen Teil muss man bei der Höhe 1 aufhören und man kann den unteren Kegel nicht zu Ende zeichnen,
denn der untere Kegel wurde von 0 bis ungefähr 0,7 gezeichnet und der
obere Teil von 0,7 bis 1.
Habe ich richtig den oberen Teil bei meinen Betrachtungen mir vorgestellt?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:49 Mi 22.07.2009 | | Autor: | abakus |
> Ich habe verstanden wie der untere Teil(der Kegel) des
> Kugelselektors aussieht, jedoch ich verstehe nicht, wie man
> auf den oberen Teil kommt?
> Warum ist der obere Teil etwas kugelförmiges und nicht
> kegelförmiges ?
Hallo,
[mm] z=\wurzel{1-x^2-y^2} [/mm] ergibt umgestellt [mm] x^2+y^2+z^2=1, [/mm] und das ist die Gleichung einer KUGEL.
Nun darf z nicht negativ sein (Wertebereich des Wurzelterms), also ist es eigentlich nur die obere Halbkugel, die von dieser Gleichung beschrieben wird.
Gruß Abakus
> Also , bei meinen Betrachtungen , habe ich den unteren und
> den oberen Teil symmetrisch gezeichnet; nur bei dem oberen
> Teil muss man bei der Höhe 1 aufhören und man kann den
> unteren Kegel nicht zu Ende zeichnen,
> denn der untere Kegel wurde von 0 bis ungefähr 0,7
> gezeichnet und der
> obere Teil von 0,7 bis 1.
>
> Habe ich richtig den oberen Teil bei meinen Betrachtungen
> mir vorgestellt?
>
> Gruss
> Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:47 Do 23.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo abakus,
mit der Gleichung der Kugel wurde mir die Situation viel klarer.
Ich habe es verstanden.
Danke schön !
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
B ist ein "Kugelsektor". Man kann B auch
beschreiben als den Rotationskörper, der
entsteht, wenn man einen Viertelskreis
(Kreisradius=1) um seine Symmetrieachse
rotieren lässt.
Sein Volumen lässt sich deshalb statt mit
einem Dreifachintegral auch mit einem
einfachen Integral über z oder aber mittels
der Volumenformeln der Kugelteile berech-
nen, die man in einer gewöhnlichen Formel-
sammlung findet. Eine interessante Möglich-
keit ist die Dreisatzrechnung:
[mm] $\bruch{Volumen(B)}{Volumen(Kugel)}\ [/mm] =\ [mm] \bruch{Oberflaeche(Kalotte)}{Oberflaeche(Kugel)}$
[/mm]
Die Oberfläche der Kalotte ist dabei nach
Archimedes gleich groß wie die Mantelfläche
des Zylinders mit Radius = Kugelradius = 1
und Höhe = Höhe der Kalotte = [mm] 1-\bruch{\sqrt{2}}{2}
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Do 23.07.2009 | | Autor: | Igor1 |
Hallo,
ich habe hier einen Lösungsvorschlag zu der Aufgabe : ![[]](/images/popup.gif) ue13 L.pdf.
Ich habe Fragen zum Lösungsvorschlag:
Insgesamt gesehen, ist mir die Vorgehensweise der Volumenberechnung eines Körpers mit Hilfe der Kugelkoordinaten nicht ganz klar.
Könnt ihr bitte vielleicht die Schritte nennen , die man bei den meisten solchen Aufgaben machen soll ?
Beim Lösungsvorschlag wurde Q definiert. Warum beschreibt Q, so wie es dort definiert ist, genau den Integrationsbereich? Ist Q also eindeutig bestimmt? Muss K(Q)=B sein oder [mm] K(Q_{\varepsilon})=B [/mm] sein?
Gruss
Igor
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:18 Do 23.07.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
in kartesischen Koordinaten ist ein Volumenelemen dV=dx*dy*dz
in Kugelkoordinaten ist ein Volumenelement
[mm] dV=(r*d\phi)*(r*sin(\phi)d\theta)*dr
[/mm]
Formal kannst du das mit der Det. der Transformationsmatrix nachrechnen, ich stell mir das dV vor.
dass du etwa ds in [mm] \phi [/mm] Richtung [mm] ds=r*d\phi [/mm] has ist schon am Kreis in der Eben klar [mm] (d\phi [/mm] ist ja keine Laenge).
Wenn du jetzt auf der Kugel wanderst werden ja die Kreise immer kleiner bzw. groesser wenn du oben an faengst, sie haben den Radius [mm] r*sin(\theta)
[/mm]
wenn du dirs anschaulich vorstellen willst zeichne mal ne Kugel und da bei irgendnem Breitenkreis ien dV ein.
Wie du die Grenzen waehlen musst haengt von Objekt ab. ist aber aus dem meist leicht abzulesen.
Du liest die posts von uns offensichtlich zu fluechtig, dass das ne Kugel ist etwa, stand da mehrfach, und du bliebst immer bei deinem Kegel.
Gruss leduart
|
|
|
|
![[]](http://www.allgemeinbildung.ch/piktos/Kugelsektor_der.jpg){kind=small}
Kugelsektor