Volumenberechnung aus Menge < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:36 Do 24.09.2009 | | Autor: | phil974 |
| Aufgabe 1 | Gegeben ist die Menge
M:= {(x,y,z) [mm] \in \IR^{3} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \le [/mm] z [mm] \le \wurzel{x^{2} + y^{2}} [/mm] }
Berechnen sie das Volumen. |
| Aufgabe 2 | Gegeben ist die Menge:
M:= {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] : [mm] x^{2} [/mm] + [mm] y^{2} \ge [/mm] 1 }
Ist die Menge abgeschlossen, offen, kompakt oder beschränkt ? |
Wunderschönen Guten Morgen,
Aufgabe 1:
irgendwie verwirrt mich die oben genannte Aufgabe, ich stehe voll auf dem Schlauch. Ich muss daraus ein Dreifachintegral machen, wohl mit Zylinder oder Kugelkoordinaten. Ich würde ja gerne mehr dazu schreiben, aber ich habe irgendwie gerade ein riiiiiesiges Brett vor der Birne. Hoffe das kann mir jemand wegnehmen.
Erster Schritt wäre die Feststellung der Projezierbarkeit, ist das nicht der Fall, muss ich das Integrationsgebiet zerlegen.
Muss ich das mit Zylinderkoordinaten machen ? Oder ist das komplett falsch ?
Wie gesagt, ich würde gerne einen Ansatz hinschreiben, aber ich weis nicht wo ich anfangen soll.
Aufgabe 2:
Allgemein gilt ja:
offene Menge, wenn alle Punkte innere Punkte sind, also in einer [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung liegen. (Auf dem gedachten Radius eines Kreises)
abgeschlossene Menge, wenn alle alle Häufungspunte in der Menge liegen. Häufungspunkt gibt es dann, wenn es einen Punkt X gibt, gegen den die Menge konvergiert.
beschränkte Menge, wenn es eine Konstante gibt, sozusagen den "Deckel" auf die Menge legt
Kompakte Menge, wenn beschränkt und abgeschlossen.
Gehe ich diese Definitionen durch komme ich auf folgendes:
- innere Punkte/offene Menge: die [mm] \varepsilon [/mm] Umgebung wäre ja von 1 bis unendlich, also in meinen Augen nicht wirklich eine festgelegte "Umgebung". Also schon einmal keine offene Menge.
-Da die Summe der X und Y Werte auf jeden Fall größer/gleich 1 sein muss ist die Menge schon einmal von unten Beschränkt. Richtig ?
-Ist sie abgeschlossen, weil sie gegen unendlich geht ? Also Häufungspunkt = unendlich ? Ich denke nicht.
Also wäre die Menge nach meiner Meinung nur beschränkt .
Wie ich diesen Mengenkram hasse.......
Jetzt schon einmal Danke für die Hilfe
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Hallo,
berechne in Zylinderkoordinaten, also
[mm] $$x:=r*\cos(\varphi)$$
[/mm]
[mm] $$y:=r*\sin(\varphi)$$
[/mm]
das Integral
[mm] $$\iiint [/mm] 1 dV$$
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:21 Do 24.09.2009 | | Autor: | phil974 |
Wenn ich x und y in der Menge ersetze komme ich:
[mm] r^{2}(cos(\varphi)^{2} [/mm] + [mm] sin(\varphi)^{2} \le [/mm] z [mm] \le \wurzel {r^{2}(cos(\varphi)^{2} + sin(\varphi)^{2} }
[/mm]
das vereinfacht sich zu
[mm] r^{2} \le [/mm] z [mm] \le [/mm] r
[mm] \integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} \integral_{r^{2}}^{r} [/mm] r dr [mm] d\varphi [/mm] dz
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> Wenn ich x und y in der Menge ersetze bekomme ich:
>
> [mm]r^{2}\left(cos(\varphi)^{2}+sin(\varphi)^{2}\right) \le z\le \wurzel {r^{2}(cos(\varphi)^{2} + sin(\varphi)^{2}) }[/mm]
>
> das vereinfacht sich zu
>
> [mm]r^{2} \le z\le[/mm] r
>
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} \integral_{r^{2}}^{r} r\ dr\ d\varphi\ dz[/mm]
Richtig, falls noch klar wäre, welches Differential zu
welchem Integral gehört. Normalerweise denkt man
sich Integralzeichen und Differentiale wie Anfangs-
und Schlussklammern. Man kann der Deutlichkeit
halber auch wirklich Klammern verwenden:
[mm] $\integral_{0}^{2\pi}\left(\integral_{0}^{1} \left(\ \integral_{r^{2}}^{r} r\ dz\right)\ dr\right) d\varphi$
[/mm]
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:08 Do 24.09.2009 | | Autor: | phil974 |
> > Wenn ich x und y in der Menge ersetze bekomme ich:
> >
> > [mm]r^{2}\left(cos(\varphi)^{2}+sin(\varphi)^{2}\right) \le z\le \wurzel {r^{2}(cos(\varphi)^{2} + sin(\varphi)^{2}) }[/mm]
>
> >
> > das vereinfacht sich zu
> >
> > [mm]r^{2} \le z\le[/mm] r
> >
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} \integral_{r^{2}}^{r} r\ dr\ d\varphi\ dz[/mm]
ein LICHTBLICK!
>
>
> Richtig, falls noch klar wäre, welches Differential zu
> welchem Integral gehört. Normalerweise denkt man
> sich Integralzeichen und Differentiale wie Anfangs-
> und Schlussklammern. Man kann der Deutlichkeit
> halber auch wirklich Klammern verwenden:
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi}\left(\integral_{0}^{1} \left(\ \integral_{r^{2}}^{r} r\ dz\right)\ dr\right) d\varphi[/mm]
>
Ach natürlich, beim abschreiben vertippt.
$ [mm] \integral_{\varphi = 0}^{2\pi}\left(\integral_{r = 0}^{1} \left(\ \integral_{ z = r^{2}}^{r} r\ dz\right)\ dr\right) d\varphi [/mm] $
Kleine Frage noch zur "Funktionaldeterminante", also Jacobi Matrix
Ich darf die Reihenfolge der Zylinderkoordinaten bei dem erstellen der Matrix frei wählen. Diese Reihenfolge muss ich dann auch später so in das Integral übernehmen ?
Nur noch einmal die Sicherheitsfrage:
dx dy dz = r dr [mm] d\varphi [/mm] dz wird als transformations"regel" betitelt, also DAS bleibt immer gleich. Auch wenn eine Funktion f(x) ins Spiel kommt ? (In f(x) ersetze ich x,y,z natürlich auch durch [mm] rcos\varphi,rsin\varphi,z
[/mm]
Bei Kugelkoordinaten wäre es dann | [mm] -r^{2}sin [/mm] psi |
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> [mm]\integral_{\varphi = 0}^{2\pi}\left(\ \integral_{r = 0}^{1} \left(\ \integral_{ z = r^{2}}^{r} r\ dz\right)\ dr\right) d\varphi[/mm]
>
>
> Kleine Frage noch zur "Funktionaldeterminante", also Jacobi
> Matrix
>
> Ich darf die Reihenfolge der Zylinderkoordinaten bei dem
> erstellen der Matrix frei wählen. Diese Reihenfolge muss
> ich dann auch später so in das Integral übernehmen ?
Für den absoluten Wert der Jacobi-Determinante
spielt die Reihenfolge keine Rolle.
Für die richtige Reihenfolge der Integrationen
muss man sich an der Geometrie des Integra-
tionsgebiets orientieren, um wirklich genau
dieses Gebiet zu "scannen".
> Nur noch einmal die Sicherheitsfrage:
>
> dx dy dz = r dr [mm]d\varphi[/mm] dz wird als
> transformations"regel" betitelt, also DAS bleibt immer
> gleich. Auch wenn eine Funktion f(x) ins Spiel kommt ?
Ja. Die Gleichung dx dy dz = r dr [mm]d\varphi[/mm] dz
besagt einfach, wie man das Volumen $\ dx*dy*dz$ eines infinitesi-
malen Quaders durch Zylinderkoordinaten beschreibt.
> In f(x) ersetze ich x,y,z natürlich auch durch
> [mm]r\,cos\varphi,r\,sin\varphi,z[/mm]
>
> Bei Kugelkoordinaten wäre es dann | [mm]-r^{2}sin \psi[/mm] |
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Do 24.09.2009 | | Autor: | phil974 |
Vielen Dank für die geduldige Hilfe !
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> Vielen Dank für die geduldige Hilfe !
Gern geschehen.
Tipp: wenn du keine neue Frage stellst, solltest
du die Meldung nicht als "Frage", sondern als
"Mitteilung" deklarieren.
Schönen Nachmittag !
Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:24 Sa 26.09.2009 | | Autor: | InSane |
Hallo, das ist mein erster Post in diesem Forum, ich hoffe ich mache alles richtig ;)
Also erstmal HALLO - tolles Forum!!
Meine Frage ist, woher weiß ich, dass der Radius (r) von 0 bis 1 geht? ist es hier nicht so das der Radius [mm] \wurzel{z} [/mm] ist?
siehe : http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2%2By%C2%B2%3C9
Vielen Dank
> Wenn ich x und y in der Menge ersetze komme ich:
>
> [mm]r^{2}(cos(\varphi)^{2}[/mm] + [mm]sin(\varphi)^{2} \le[/mm] z [mm]\le \wurzel {r^{2}(cos(\varphi)^{2} + sin(\varphi)^{2} }[/mm]
>
> das vereinfacht sich zu
>
> [mm]r^{2} \le[/mm] z [mm]\le[/mm] r
>
>
> [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} \integral_{r^{2}}^{r}[/mm]
> r dr [mm]d\varphi[/mm] dz
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Hallo InSane,
> Hallo, das ist mein erster Post in diesem Forum, ich hoffe
> ich mache alles richtig ;)
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
>
> Also erstmal HALLO - tolles Forum!!
Das liest man gerne.
>
> Meine Frage ist, woher weiß ich, dass der Radius (r) von 0
> bis 1 geht? ist es hier nicht so das der Radius [mm]\wurzel{z}[/mm]
> ist?
>
> siehe :
> http://www.wolframalpha.com/input/?i=x%C2%B2%2By%C2%B2%3C9
>
> Vielen Dank
> > Wenn ich x und y in der Menge ersetze komme ich:
> >
> > [mm]r^{2}(cos(\varphi)^{2}[/mm] + [mm]sin(\varphi)^{2} \le[/mm] z [mm]\le \wurzel {r^{2}(cos(\varphi)^{2} + sin(\varphi)^{2} }[/mm]
>
> >
> > das vereinfacht sich zu
> >
> > [mm]r^{2} \le[/mm] z [mm]\le[/mm] r
> >
> >
> > [mm]\integral_{0}^{2\pi} \integral_{0}^{1} \integral_{r^{2}}^{r}[/mm]
> > r dr [mm]d\varphi[/mm] dz
>
Zunächst einmal ist klar, daß [mm]r^{2} \le r[/mm] gelten muß.
Gleichheit ist nur gegeben, wenn [mm]r^{2}=r[/mm] gilt.
Daher sind hier die Lösungen der Gleichung
[mm]r^{2}-r=0[/mm]
als Grenzen vorgegeben.
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:42 Sa 26.09.2009 | | Autor: | InSane |
Ahhhh,
vielen Dank, ich glaube ich habe es verstanden.
denn r²<r ist ja nur bis r=1 erfüllt, bei größeren Werten würde die Ungleichung nicht mehr stimmen.
Habe ich es so richtig verstanden?
Danke für die schnelle Antwort
EDIT: sorry, ich glaub ich blick mit dem Status noch nicht ganz durch ( schon kompliziert das Forum ;) )
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Hallo InSane,
> Ahhhh,
>
> vielen Dank, ich glaube ich habe es verstanden.
>
> denn r²<r ist ja nur bis r=1 erfüllt, bei größeren
> Werten würde die Ungleichung nicht mehr stimmen.
>
> Habe ich es so richtig verstanden?
Nun, es gibt ja hier noch die Einschränkung, daß r > 0 sein muß. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Danke für die schnelle Antwort
>
> EDIT: sorry, ich glaub ich blick mit dem Status noch nicht
> ganz durch ( schon kompliziert das Forum ;) )
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:09 Sa 26.09.2009 | | Autor: | InSane |
Ah ja, sonst wäre r ja kleiner als r² und das darf nicht sein
Super
nochmal VIELEN DANK
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> Aufgabe 2:
> Gegeben ist die Menge:
>
> $\ M:= [mm] \{(x,y) \in \IR^{2}\ :\ x^{2}+y^{2} \ge1 \}$
[/mm]
>
> Ist die Menge abgeschlossen, offen, kompakt oder
> beschränkt ?
> Allgemein gilt ja:
>
> offene Menge, wenn alle Punkte innere Punkte sind, also in
> einer [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung liegen.
> (Auf dem gedachten Radius eines Kreises) ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
>
> abgeschlossene Menge, wenn alle alle Häufungspunkte in der
> Menge liegen. Häufungspunkt gibt es dann, wenn es einen
> Punkt X gibt, gegen den die Menge konvergiert.
die Menge "konvergiert" überhaupt nicht ...
> beschränkte Menge, wenn es eine Konstante gibt, sozusagen
> den "Deckel" auf die Menge legt
Was genau soll diese Konstante bedeuten ?
Klarere Definition !
> Kompakte Menge, wenn beschränkt und abgeschlossen.
>
> Gehe ich diese Definitionen durch komme ich auf folgendes:
>
> - innere Punkte/offene Menge: die [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung
> wäre ja von 1 bis unendlich, also in meinen Augen nicht
> wirklich eine festgelegte "Umgebung". Also schon einmal
> keine offene Menge.
M ist zwar nicht offen, aber deine Begründung ist
mir rätselhaft. Um zu zeigen, dass M nicht offen
ist, solltest du mindestens einen Punkt [mm] P\in{M}
[/mm]
angeben, welcher keine ganz in M liegende
Umgebung besitzt.
Hast du dir die Menge skizziert ? Dann sollte es
offensichtlich sein, wo du suchen musst.
> -Da die Summe der X und Y Werte auf jeden Fall
> größer/gleich 1 sein muss ist die Menge schon einmal von
> unten Beschränkt. Richtig ?
Was meinst du mit "unten" ?
Was du sagen könntest, wäre, dass der Abstand der
Punkte von M vom Nullpunkt O(0/0) von unten
beschränkt ist. Dies hat aber eigentlich kaum was
mit der Beschränktheit von M zu tun.
> -Ist sie abgeschlossen, weil sie gegen unendlich geht ?
> Also Häufungspunkt = unendlich ? Ich denke nicht.
Alle Häufungspunkte, die es da "weit draussen" gibt,
sind Punkte [mm] H(x_H/y_H) [/mm] im Endlichen mit [mm] x_H^2+y_H^2>1
[/mm]
und gehören deshalb zu M. Speziell betrachten
musst du nur noch solche Häufungspunkte, die
sich am (inneren) Rand von M befinden.
> Also wäre die Menge nach meiner Meinung nur beschränkt . ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Ist sie nicht.
> Wie ich diesen Mengenkram hasse.......
Versuch' den Hass unter eine kleine obere Schranke
zu begrenzen - dann geht's leichter ..... 
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Do 24.09.2009 | | Autor: | phil974 |
hmm, ich bewege mich mal in kleinen schritten, hoffentlich vorwärts...
> > Aufgabe 2:
>
> > Gegeben ist die Menge:
> >
> > [mm]\ M:= \{(x,y) \in \IR^{2}\ :\ x^{2}+y^{2} \ge1 \}[/mm]
> >
> > Ist die Menge abgeschlossen, offen, kompakt oder
> > beschränkt ?
>
>
> > Allgemein gilt ja:
> >
> > offene Menge, wenn alle Punkte innere Punkte sind, also in
> > einer [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung liegen.
> > (Auf dem gedachten Radius eines Kreises)
> >
> > abgeschlossene Menge, wenn alle alle Häufungspunkte in der
> > Menge liegen. Häufungspunkt gibt es dann, wenn es einen
> > Punkt X gibt, gegen den die Menge konvergiert.
>
> die Menge "konvergiert" überhaupt nicht ...
ähm..ja. da fehlte was, "wenn es eine folge [mm] X_{k} [/mm] von Punkten in M gibt, die gegen [mm] X_{0} [/mm] konvergiert
Es gibt keinen Häufungspunkt, also nicht abgeschlossen
>
> > beschränkte Menge, wenn es eine Konstante gibt, sozusagen
> > den "Deckel" auf die Menge legt
>
> Was genau soll diese Konstante bedeuten ?
> Klarere Definition !
Konstante K in M für die gilt ||X|| < R , in dem Fall wäre das ja NICHT gültig, da ja alle Werte nur größer/gleich 1 sein sollen !
>
> > Kompakte Menge, wenn beschränkt und abgeschlossen.
> >
> > Gehe ich diese Definitionen durch komme ich auf folgendes:
> >
> > - innere Punkte/offene Menge: die [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung
> > wäre ja von 1 bis unendlich, also in meinen Augen nicht
> > wirklich eine festgelegte "Umgebung". Also schon einmal
> > keine offene Menge.
>
> M ist zwar nicht offen, aber deine Begründung ist
> mir rätselhaft. Um zu zeigen, dass M nicht offen
> ist, solltest du mindestens einen Punkt [mm]P\in{M}[/mm]
> angeben, welcher keine ganz in M liegende
> Umgebung besitzt.
>
> Hast du dir die Menge skizziert ? Dann sollte es
> offensichtlich sein, wo du suchen musst.
>
> > -Da die Summe der X und Y Werte auf jeden Fall
> > größer/gleich 1 sein muss ist die Menge schon einmal von
> > unten Beschränkt. Richtig ?
>
> Was meinst du mit "unten" ?
> Was du sagen könntest, wäre, dass der Abstand der
> Punkte von M vom Nullpunkt O(0/0) von unten
> beschränkt ist. Dies hat aber eigentlich kaum was
> mit der Beschränktheit von M zu tun.
>
Wohl wahr, ist im Grunde also nur eine "Verschiebung", oder ?
> > -Ist sie abgeschlossen, weil sie gegen unendlich geht ?
> > Also Häufungspunkt = unendlich ? Ich denke nicht.
>
> Alle Häufungspunkte, die es da "weit draussen" gibt,
> sind Punkte [mm]H(x_H/y_H)[/mm] im Endlichen mit [mm]x_H^2+y_H^2>1[/mm]
> und gehören deshalb zu M. Speziell betrachten
> musst du nur noch solche Häufungspunkte, die
> sich am (inneren) Rand von M befinden.
>
> > Also wäre die Menge nach meiner Meinung nur beschränkt .
>
>
> Ist sie nicht.
>
> > Wie ich diesen Mengenkram hasse.......
>
> Versuch' den Hass unter eine kleine obere Schranke
> zu begrenzen - dann geht's leichter .....
>
>
> LG Al-Chw.
>
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> hmm, ich bewege mich mal in kleinen schritten, hoffentlich
> vorwärts...
>
> > > Aufgabe 2:
> >
> > > Gegeben ist die Menge:
> > >
> > > [mm]\ M:= \{(x,y) \in \IR^{2}\ :\ x^{2}+y^{2} \ge1 \}[/mm]
> >
> >
> > > Ist die Menge abgeschlossen, offen, kompakt oder
> > > beschränkt ?
> >
> >
> > > Allgemein gilt ja:
> > >
> > > offene Menge, wenn alle Punkte innere Punkte sind, also in
> > > einer [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung liegen.
> > > (Auf dem gedachten Radius eines Kreises)
> > >
> > > abgeschlossene Menge, wenn alle alle Häufungspunkte in der
> > > Menge liegen. Häufungspunkt gibt es dann, wenn es einen
> > > Punkt X gibt, gegen den die Menge konvergiert.
> >
> > die Menge "konvergiert" überhaupt nicht ...
>
>
> ähm..ja. da fehlte was, "wenn es eine folge [mm]X_{k}[/mm] von
> Punkten in M gibt, die gegen [mm]X_{0}[/mm] konvergiert
> Es gibt keinen Häufungspunkt, also nicht abgeschlossen
Moment !
Jeder Punkt von M ist ein Häufungspunkt von M. Hat [mm] P_0\in{M}
[/mm]
zum beispiel die Polarkoordinaten [mm] (r,\varphi) [/mm] mit [mm] r\ge{1} [/mm] , so hat
die Punktfolge [mm] P_n(r+\frac{1}{n},\varphi) [/mm] den Grenzpunkt [mm] P_0 [/mm] .
> > > beschränkte Menge, wenn es eine Konstante gibt, sozusagen
> > > den "Deckel" auf die Menge legt
> >
> > Was genau soll diese Konstante bedeuten ?
> > Klarere Definition !
>
> Konstante K in M für die gilt ||X|| < R , in dem Fall
> wäre das ja NICHT gültig,
> da ja alle Werte nur
> größer/gleich 1 sein sollen !
entweder K oder R, aber nicht beides durcheinander ...
> > > Kompakte Menge, wenn beschränkt und abgeschlossen.
> > >
> > > Gehe ich diese Definitionen durch komme ich auf folgendes:
> > >
> > > - innere Punkte/offene Menge: die [mm]\varepsilon[/mm] Umgebung
> > > wäre ja von 1 bis unendlich, also in meinen Augen nicht
> > > wirklich eine festgelegte "Umgebung". Also schon einmal
> > > keine offene Menge.
> >
> > M ist zwar nicht offen, aber deine Begründung ist
> > mir rätselhaft. Um zu zeigen, dass M nicht offen
> > ist, solltest du mindestens einen Punkt [mm]P\in{M}[/mm]
> > angeben, welcher keine ganz in M liegende
> > Umgebung besitzt.
> >
> > Hast du dir die Menge skizziert ? Dann sollte es
> > offensichtlich sein, wo du suchen musst.
> >
> > > -Da die Summe der X und Y Werte auf jeden Fall
> > > größer/gleich 1 sein muss ist die Menge schon einmal von
> > > unten Beschränkt. Richtig ?
> >
> > Was meinst du mit "unten" ?
> > Was du sagen könntest, wäre, dass der Abstand der
> > Punkte von M vom Nullpunkt O(0/0) von unten
> > beschränkt ist. Dies hat aber eigentlich kaum was
> > mit der Beschränktheit von M zu tun.
> >
>
> Wohl wahr, ist im Grunde also nur eine "Verschiebung", oder ?
Man könnte sagen, die Menge M sei "von O weg beschränkt",
d.h. O hat eine zu M disjunkte Umgebung.
> > > -Ist sie abgeschlossen, weil sie gegen unendlich geht ?
> > > Also Häufungspunkt = unendlich ? Ich denke nicht.
> >
> > Alle Häufungspunkte, die es da "weit draussen" gibt,
> > sind Punkte [mm]H(x_H/y_H)[/mm] im Endlichen mit [mm]x_H^2+y_H^2>1[/mm]
> > und gehören deshalb zu M. Speziell betrachten
> > musst du nur noch solche Häufungspunkte, die
> > sich am (inneren) Rand von M befinden.
> >
> > > Also wäre die Menge nach meiner Meinung nur beschränkt .
> >
> >
> > Ist sie nicht.
> >
> > > Wie ich diesen Mengenkram hasse.......
> >
> > Versuch' den Hass unter eine kleine obere Schranke
> > zu begrenzen - dann geht's leichter .....
> >
> >
> > LG Al-Chw.
> >
>
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