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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:59 Di 01.02.2005 | | Autor: | Mofa |
Also wir haben heute in Mathe eine Aufgabe gestellt bekommen für die wir eine gute Noten bekommen können, sofern wir diese lösen...
Wäre alles nicht so schwer, wenn es nicht grad ein Stromlinenkörper wäre, der aus einer Viertelellpise und einem Parabelbogen bestehen würde.
Also hier mal die Aufgabe:
Der Graf der Funkion setzt sich zusammen aus einer Viertelellipse mit den Halbachsen a und b und dem Bogen einer Parabel mit dem Scheitelpunkt ( 0 ; b), die durch den Punkt ( c ; 0 ) geht. Duch Drehung des Grafen von f um die x-Achse entsteht ein "Stromlinienkörper"
Wir sollen,
a)Bestimme die Funktionsgleichung von f
b) Zeige: Der Stromlinienkörper hat das Volumen
[mm] V = \bruch{2}{3} * \pi * b^{2} * \left( a + \bruch{4}{5} * c \right)
[/mm]
Allerdings scheiter ich an der Funktion...
Ich kam soweit, dass ich die Viertelellipse und den Parabelbogen einzeln integrieren muss(bzw Volumen berechnen). Dazu brauch ich aber die Funktionen.
Die Ellipsengleichung ist ja umgestellt nach y
[mm] y = \bruch{b}{a} * \wurzel{a^{2} - x^{2}}[/mm]
Das Volumen wäre (bei mir zumindestens)
[mm] V = \pi\integral_{a}^{0} {\left( \bruch{b}{a} * \wurzel{a^{2} - x^{2}}\left)^{2} dx}
=\pi\integral_{a}^{0} {\bruch{b^{2}}{a^{2}} * \left(a^{2} - x^{2}\right) dx}
= \pi\bruch{b^{2}}{a^{2}} * \left[a^{2}x - \bruch{x^{3}}{3}\right] (stammfunktion)
=\pi\bruch{b^{2}}{a^{2}} * \left(-a^{3} + \bruch{a^{3}}{3}\right)
= \bruch{-2 * a * b^{2} * \pi}{3}[/mm]
Ich hab keine Ahnung ob das so Stimmt (und ob ich das hier richtig eingegeben hab...)
Mir ist auch klar, dass ich das Volumen des Parabelbogens berechnen muss und dann beide Ergebnisse addieren muss. Ich scheiter allerdings bei der Funktionsaufstellung des Parabelbogens...
Kann mir wer sagen wie ich auf die Funktion komme?
Das ist mir nämlich ein echtes Rätsel, weil man hat ja nix außer zwei Punkten mit Variablen...Jemand 'ne Idee?
Okay mal am Rande erwähnt, die Note ist mir nicht superwichtig, würde allerdings 15Np (also 'ne 1+ ) einbringen und die kann man immer brauchen...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo,
definiere die Funktion stückweise:
[mm]
f(x)\;: = \;\left\{ {\begin{array}{*{20}c}
{{\text{Viertelellipse}}} \hfill & {{\text{falls}}\;x\; \in \;\left[ { - a,\;0} \right]} \hfill \\
{{\text{Parabelbogen}}} \hfill & {{\text{falls}}\;x\; \in \;\left[ {0,\;c} \right]} \hfill \\
\end{array} } \right.[/mm]
wobei hier natürlich anstatt Viertelellipse und Parabelbogen, die entsprechenden Funktionsgleichungen stehen.
Als Volumen habe ich das hier heraus:
[mm]V\; = \;\pi \;b^2 \;\left( {\frac{2}
{3}\;a\; + \;\frac{4}
{5}\;c} \right)[/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:03 Di 01.02.2005 | | Autor: | Mofa |
Oh auf die Stückweise Definition bin ich ja gar nicht gekommen, und das obwohl wir das 'ne ganze Weile hatten. Nun ja...
Auf jedenfall danke dafür! (sieht dann richtiger aus ;) )
Aber dennoch weiß ich trotz allem nicht, wie ich die Gleichung der Parabel rausbekomm. In der Hinsicht bin ich immernoch sehr ratlos...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:42 Di 01.02.2005 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mofa!
Eine Parabel hat ja die Scheitelform :
$y(x) \ = \ P*(x - [mm] x_S)^2 [/mm] + [mm] y_S$
[/mm]
(Ich habe hier bewußt diesen Großbuchstaben gewählt, um Verwechslungen mit unseren Werten $a$, $b$ und $c$ zu vermeiden.)
Uns wurden nun zwei Punkte direkt vorgegeben:
Der Scheitelpunkt lautet ja $S \ ( \ 0 \ | \ b \ )$ mit [mm] $x_S [/mm] = 0$ und [mm] $y_S [/mm] = b$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $y(x) \ = \ P*(x - [mm] 0)^2 [/mm] + b \ = \ P * [mm] x^2 [/mm] + b$
Der andere Punkt lautet: [mm] $P_1 [/mm] \ ( \ c \ | \ 0 \ )$
[mm] $\Rightarrow$ [/mm] $y(c) \ = \ 0 \ = \ [mm] P*c^2 [/mm] + b$
Daraus läßt sich nun die Größe $P$ ermitteln, und damit hast Du die Parabelgleichung ...
Gruß
Loddar
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Stelle dir zuerst den Körper vor: Du legst eine Ellipse in den Ursprung und schneidest z.B. die rechte Hälfte ab. Rotiert nun der linke Teil (genauer: nur der obere Teil, deshalb Ellipsenviertel), so ergibt sich dafür links von der y-Achse ein halbes Ei, dessen Volumen du ganz richtig berechnet hast. Allerdings hättest du von -a bis 0 integrieren sollen. Du hast nun - genau so gut - die rechte Eihälfte berechnet, hättest dann aber als untere Grenze 0 und als obere Grenze a nehmen müssen, kurz: Dein Vorzeichen ist deshalb falsch.
Bleiben wir nun bei "halbes Ei links". Stelle dir nun eine auf dem Kopf stehende Parabel vor, die du so verschiebst, dass der Scheitel auf der x-Achse liegt und (bei y=b) genau Anschluss an das Ei hat. Sie schneidet rechts die x-Achse bei (c,0) schräg, nicht senkrecht wie die Ellipse. Rotiert sie, so entsteht bei c eine Spitze. Überlegung zur Parabel:
[mm] -ax^2 [/mm] (steht auf dem Kopf, geht durch Ursprung)
[mm] -ax^2 [/mm] +b (nach oben verschoben, so dass Scheitel durch b geht)
Setze nun c ein: [mm] -ac^2+b=0, [/mm] da dort der Schnittpunkt mit y-Achse liegt.
Durch Umformen ergibt sich: a = [mm] b/c^2. [/mm] Somit gilt für die Parabel:
y = [mm] -(b/c^2)x^2+b
[/mm]
Nun integriere diesen Teil (Volumen). Viel Erfolg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 Di 01.02.2005 | | Autor: | Mofa |
Vielen Dank!
Ohne MathePower wäre ich nicht auf die Stückweise Definition gekommen (danke!)
Ohne Loddar wäre ich nicht auf den Ansatz der Parabelgleichung gekommen und hätte den Fehler mit dem Minus auch nicht gesehen *g*(danke!)
Und ohne HJKweseleit hätt ich nicht gemerkt das ich das hoch zwei beim x der Parabelgleichung unterschlagen hatte *rolleyes* (danke!)
Und nach dem 6. (oder 5.?) Versuch es zu integrieren (und Fehler gefunden und bla ;) ) kam ich auch auf das Ergebnis :)
Vielen Dank für eure Mühe! Nun muss ich es nur noch leserlich aufschreiben mein Geschmiere ;)
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![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]"){kind=small}
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