Volumenformel < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 07:54 Fr 14.08.2009 | | Autor: | Delia00 |
Hallo,
es geht nicht um eine spezielle Aufgabe.
Was ich fragen wollte. Bei der Volumenberechnung von einer Pyramide, einem Kegel kommt in der Formel 1/3 vor und bei einer Kugel 4/3.
Ich verstehe leider nicht ganz, wie die Brüche bei diesen Formeln zustande kommen. Könnte mir da bitte jemand weiter helfen??
Danke im Voraus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:19 Fr 14.08.2009 | | Autor: | xPae |
Hallo,
hier zwei Erklärungen von Wikipedia für die Pyramidenformel:
(Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Pyramide_(Geometrie)#Volumenberechnung)
Pyramide:
Elementargeometrische Begründung
Die erwähnte Volumenformel lässt sich elementargeometrisch in drei Schritten begründen:
* 1. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im Volumen überein.Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.
* 2. Für Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche gilt die Volumenformel V = [mm] \bruch{1}{3}*G*h.
[/mm]
Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, ein gerades Dreiecksprisma mit der Grundfläche G und der Höhe h in drei Dreieckspyramiden gleichen Volumens zu zerlegen.
* 3. Die Volumenformel gilt für jede beliebige Pyramide.Zu einer gegebenen Pyramide gibt es nämlich eine Dreieckspyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nach 1. das gleiche Volumen besitzt. Da nach 2. die Volumenformel für die Dreieckspyramide richtig ist, muss diese Formel auch für die ursprüngliche Pyramide gelten.
II. via Integralrechnung:
Begründung mit Hilfe der Integralrechnung
Der Rauminhalt einer Pyramide mit der Grundfläche G und Höhe h kann berechnet werden, wenn man sich die Pyramide aus dünnen (infinitesimalen) Schichten der Dicke dy parallel zur Grundfläche aufgebaut vorstellt. Eine y-Achse lege man nun durch die Spitze der Pyramide, so dass die Höhe h mit der y-Achse zusammenfällt. Bezeichnet man die Fläche der Schicht im Abstand y von der Spitze mit A(y), so kann man aus den Gesetzen der zentrischen Streckung eine Formel für A(y) herleiten:
[mm] \bruch{A(y)}{G}=\bruch{y^{2}}{h^{2}}
[/mm]
[mm] =>A(y)=\bruch{y^{2}*G}{h^{2}}
[/mm]
Das Volumen einer Schicht ist dann dV = A(y)dy. Schließlich ist das Volumen der Pyramide die Summe der Volumina aller einzelnen Schichten. Diese Summe ergibt sich durch Integration von y=0 bis y=h.
[mm] V=\integral_{0}^{h}{A(y) dy}=\integral_{0}^{h}{\bruch{y^{2}*G}{h^{2}} dy}=\bruch{G}{h^{2}}*\integral_{0}^{h}{y^{2} dy}=\bruch{1*G}{3*h^{2}}*[y^{3}]_{0}^{h}=\bruch{1*G}{3*h^{2}}*[h^{3}-0]=\bruch{1*G*h^{3}}{3*h^{2}}=\bruch{1}{3}*G*h
[/mm]
Leider hast du deinen Mathe-Backround nicht angegeben, daher weiss ich nicht, ob du Integralrechnung schon geamcht hast.
Kugel
http://de.wikipedia.org/wiki/Kugel#Volumen hier findest du eine Reihe an Beweisen. Wenn du etwas nicht verstehst, dann melde Dich nochmal.
(Beweis über Integration ist "relativ" einfach, wenn du es schonmal hattest)
Ich finde "Alternative Herleitung" am einfachsten.
Lg xPae
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 07:12 Sa 15.08.2009 | | Autor: | Delia00 |
Hallo,
Integralrechnung hatten wir noch nicht, daher ist die erste Erklärung geeigneter.
Ich verstehe bei dem ersten Punkt das mit der zentrischen Streckung nicht wirklich. Könntest du mir das bitte genauer erklären?
Danke.
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> Hallo,
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> Integralrechnung hatten wir noch nicht, daher ist die erste
> Erklärung geeigneter.
>
> Ich verstehe bei dem ersten Punkt das mit der zentrischen
> Streckung nicht wirklich. Könntest du mir das bitte
> genauer erklären?
>
> Danke.
Guten Tag Delia,
Die erste Erklärung (von xPae) lautete:
Elementargeometrische Begründung
Die erwähnte Volumenformel lässt sich elementargeometrisch in drei Schritten begründen:
* 1. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe stimmen im Volumen überein.Zum Beweis dieser Aussage kann man das Prinzip von Cavalieri und die Gesetze der zentrischen Streckung heranziehen.
* 2. Für Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche gilt die Volumenformel V = $ [mm] \bruch{1}{3}\cdot{}G\cdot{}h. [/mm] $
Diese Behauptung ergibt sich aus der Möglichkeit, ein gerades Dreiecksprisma mit der Grundfläche G und der Höhe h in drei Dreieckspyramiden gleichen Volumens zu zerlegen.
* 3. Die Volumenformel gilt für jede beliebige Pyramide.Zu einer gegebenen Pyramide gibt es nämlich eine Dreieckspyramide mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe, die nach 1. das gleiche Volumen besitzt. Da nach 2. die Volumenformel für die Dreieckspyramide richtig ist, muss diese Formel auch für die ursprüngliche Pyramide gelten.
Das Prinzip von Cavalieri besagt:
Zwei Körper besitzen dasselbe Volumen, wenn
ihre Schnittflächen in Ebenen parallel zu
einer Grundebene in entsprechenden Höhen den
gleichen Flächeninhalt haben.
Wenn wir nun zwei Pyramiden [mm] P_1 [/mm] und [mm] P_2 [/mm] haben,
wobei [mm] P_i [/mm] die Grundfläche [mm] G_i [/mm] ,die Spitze [mm] S_i [/mm] und
die Höhe [mm] h_i [/mm] hat, und wenn [mm] |G_1|=|G_2|=G [/mm] und
[mm] |h_1|=|h_2|=h [/mm] gilt, so brauchen wir, um den Satz
von Cavalieri überhaupt anwenden zu können, noch
den Beweis dafür, dass die durch beide Pyramiden
auf gleicher Höhe k über ihren Grundflächen gelegten
Schnittebenen tatsächlich bei beiden Pyramiden
entsprechend große Querschnittsflächen liefern.
Und hier kommt nun die zentrische Streckung zum
Zug. Wird eine Pyramide mit Grundfläche G und der
Höhe h auf einer Höhe k mit [mm] 0\le k\le [/mm] h durch eine zu G
parallele Ebene geschnitten, so ist die entstehende
Querschnittsfigur zur Grundfigur ähnlich, ihre linearen
Ausmaße sind proportional mit dem Streckungsver-
hältnis (h-k)/h. Für ihre Flächeninhalte gilt das
Verhältnis [mm] (h-k)^2/h^2, [/mm] unabhängig von der Form
der Grundfläche der Pyramide. Daraus kann man
folgern, dass beide Pyramiden auf jeder beliebigen
Höhe k (mit [mm] 0\le [/mm] k [mm] \le [/mm] h) gleich große Querschnitts-
flächen haben, nämlich
$\ Q(k)\ =\ [mm] G*\frac{(h-k)^2}{h^2}$
[/mm]
Damit kann man dann nach Cavalieri schließen,
dass sie auch das gleiche Volumen haben.
LG Al-Chw.
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Um dir die Volumenformel für die Pyramide an
einem einfachen Beispiel deutlich zu machen,
kannst du eine Pyramide mit einer quadratischen
Grundfläche der Seitenlänge a nehmen, deren
Höhe h=a/2 ist. Sechs solche Pyramiden kannst
du zu einem Würfel der Kantenlänge a zusammen
fügen. Das Pyramidenvolumen muss also ein
Sechstel des Würfelvolumens sein:
$\ [mm] V_{Pyramide}=\frac{1}{6}*V_{Wuerfel}=\frac{1}{6}*a^3=\frac{1}{3}*a^2*\frac{a}{2}=\frac{1}{3}*G_{Pyramide}*h_{Pyramide}$
[/mm]
LG Al-Chwarizmi
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