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Hallo, ich habe ein Verständnisproblem mit einer Aufgabe, welche wir gestern in unserer Übung gerechnet haben und zwar sollte ein 3fach-Integral eines Tetraeder bestimmt werden, der durch (0,0,0) und die Ebene x+y+z=4 begrenzt wird.
So das Volumen bestimmen wir ja, indem wir über 1 integrieren, also etwa:
[mm] \integral_{0}^{4}{\integral_{0}^{4-x}{\integral_{0}^{4-x-y}{1 \cdot dz} dy} dx}
[/mm]
Das kann ich mir anschaulich noch erklären.
Problematisch wird es, als wir folgendes berechnen sollten:
[mm] \integral_{0}^{4}{\integral_{0}^{4-x}{\integral_{0}^{4-x-y}{x \cdot dz} dy} dx}=\frac{32}{3}
[/mm]
Was soll ich mir anschaulich vorstellen, wenn wir nicht mehr über 1 sondern die Funktion x integrieren??? Was sagt mir das Ergebnis 32/3 aus? Das ist ja nicht mehr das Volumenn...
Danke schonmal im Voraus 
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:25 Sa 08.06.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo Madde-Freund,
mehr als dreidimensionale Integrale können wir uns als Menschen, die in einem dreidimensionalen Raum leben, kaum anschaulich vorstellen. Die Integration über die 1 ergibt gerade das Volumen des Gebildes, das durch die Integrationsgrenzen bestimmt ist. Wenn da aber als Integrand ein "x" steht, kann ich mir ad hoc auch nichts mehr darunter vorstellen. Es ist natürlich möglich, dass aus einer physikalischen oder ingenieurtechnischen Aufgabenstellung sich solch ein Integral ergibt und dann hat man auch den Bezug zur Aufgabe, aber als rein mathematischen Ausdruck kann ich damit zunächst einmal nichts verbinden.
Was mir aus der Technischen Mechanik einfällt, ist die Bestimmung der Schwerpunktkoordinaten eines Körpers, dabei tauchen Gleichungen auf, die als Integrand keine Konstante, sondern eine Integrationsvariable haben.
Viele Grüße,
Infinit
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Vielen Dank, das hilft mir sehr weiter!!! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:43 Sa 08.06.2013 | | Autor: | chrisno |
nur mit dem x ist es das Drehmoment eines Körpers, bezogen auf die y- (oder z-)Achse.
Für jeden Wert von x gibt es eine Volumenelement mit der Breite dx, das den Hebelarm x zur y-Achse hat.
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