Von Basis und Matrix zu BildA < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:38 Mo 14.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
| Aufgabe | Sei [mm] V=R^3 [/mm] und B={(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1)} eine Basis von V. Sei ferner A:V [mm] \rightarrow [/mm] V eine lineare Abbildung, die bezüglich der Basis B die Matrix:
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix}
[/mm]
hat.
a) Bestimme BildA!
b)Sei C die Einschränkung von auf BildA, also C: BildA [mm] \rightarrow [/mm] BildA mit Cv=Av für alle v aus BildA. Gib eine Basis für BildA an und bezüglich dieser Basis eine zu C gehörige Matrix. |
Wie komme ich von meiner Basis und meiner Matrix auf BildA?
Soll ich die Basis als Matrix auffassen und Multiplizieren?
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> Sei [mm]V=R^3[/mm] und B={(1,1,0),(0,0,1),(1,0,1)} eine Basis von V.
> Sei ferner A:V [mm]\rightarrow[/mm] V eine lineare Abbildung, die
> bezüglich der Basis B die Matrix:
>
> M:=[mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix}[/mm]
>
> hat.
>
> a) Bestimme BildA!
> b)Sei C die Einschränkung von auf BildA, also C: BildA
> [mm]\rightarrow[/mm] BildA mit Cv=Av für alle v aus BildA. Gib eine
> Basis für BildA an und bezüglich dieser Basis eine zu C
> gehörige Matrix.
> Wie komme ich von meiner Basis und meiner Matrix auf
> BildA?
> Soll ich die Basis als Matrix auffassen und
> Multiplizieren?
Hallo,
die Matrix M ist die darstellende Matrix der Abbildung A bzgl der Basis B.
Was bedeutet das? Wenn Du die Matrix M mit einem Vektor in Koordinaten bzgl B multiplizierst, ist das Ergebnis das Bild dieses Vektors unter der Abbildung A - in Koordinaten bzgl B.
Wenn Du also das Ergebnis [mm] \vektor{a\\b\\c}_{(B)} [/mm] bekommst, so bedeutet das: a*(1,1,0)+b*(0,0,1)+c*(1,0,1).
Nun zu Deiner eigentlichen Frage:
Das Bild der Matrix ist der Raum, der von den Spalten aufgespannt wird.
Berücksichtigen mußt Du, daß in die Spalten Koordinatenvektoren bzgl B stehen, und Du willst sicher das Bild in Vektoren bzgl der Standardbasis angeben. Da mußt Du dann umrechnen, wie ich es oben erklärt habe.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Di 15.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Danke für deine schnelle Hilfe.
Ich bin durch deine Anweisungen zu folgenden Ergebnissen gekommen:
[mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix} [/mm] * [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}
[/mm]
und entsprechned für die anderen Basiselemente:
[mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}und \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.
[/mm]
Damit erhalte ich { [mm] \begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} [/mm] } als Basiselemente meines Bildraums.
Zum 2. Teil dr Aufgabe: Soll C die identische Abbildung von BildA auf BildA sein? Dann wäre die gesuchte Matrix die Einheitsmatrix. Ich glaube nur, dass wäre zu einfach. :)
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> Danke für deine schnelle Hilfe.
> Ich bin durch deine Anweisungen zu folgenden Ergebnissen
> gekommen:
>
> [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 & -1 \\
1 & 1 & 0 \\
-1 & -1 & 0
\end{pmatrix}[/mm] *
> [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}[/mm]
Hallo,
offensicchtlich waren diese Anweisungen nicht deutlich genug...
Die Matrix ist ja lt. Aufgabenstellung bzgl. der Basis B.
Mit Deiner Rechnung oben möchtest Du das Bild des ersten Basisvektors von B bestimmen.
Weil die Matrix mit Koordinatenvektoren bzgl B gefüttert werden muß (und ebensolche ausgibt), mußt Du diesen Vektor in Koordinaten bzgl B umwandeln:
[mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \red{1} \\ \red{0} \\ \red{0} \end{pmatrix}_{B}= \red{1}*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] + [mm] \red{0}**\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\red{0}**\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}.
[/mm]
Für die Aufgabe bestimme erstmal "ganz normal" die Basis der Spaltenvektoren - so wie sie dastehen.
Die beiden Vektoren, welche Koordinatenvektoren bzgl B sind, wandele anschließend um in Vektoren bzgl. der Standardbasis.
> Zum 2. Teil dr Aufgabe: Soll C die identische Abbildung von
> BildA auf BildA sein?
Nein. Das ist dieselbe Abbildung wie oben, eingeschränkt auf das BildA, welches Du oben bestimmt haben wirst.
Die Dimension des Bildes ist 2, also enthält Deine Basis v. BildA zwei Elemente [mm] (c_1, c_2) [/mm] und bzgl dieser Basis sollst Du die abbildende Matrix aufstellen.
Dazu mußt Du erstmal zu den Bildern von [mm] c_1 [/mm] und [mm] c_2 [/mm] kommen und diese als Linearkombination v. [mm] (c_1, c_2) [/mm] schreiben. Die Koeffizienten ergeben die Spalten Deiner Matrix.
Gruß v. Angela
Dann wäre die gesuchte Matrix die
> Einheitsmatrix. Ich glaube nur, dass wäre zu einfach. :)
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Mi 16.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Wie komme ich von [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] zu [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] ?
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> Wie komme ich von [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> zu [mm]\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}[/mm] ?
Hallo,
das hatte ich doch im anderen Post unter Zuhilfenahme von Farbe bereits erklärt, aber ich sag's nochmal anders:
der Vektor, welcher bzgl der Standardbasis die Koordinaten [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] hat, ist der erste Basisvektor der Basis B.
Seine Koordinaten bzgl B lauten also [mm] \begin{pmatrix} \red{1} \\ \red{0} \\ \red{0} \end{pmatrix}_{B},
[/mm]
denn es ist
$ [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \red{1} \\ \red{0} \\ \red{0} \end{pmatrix}_{B}= \red{1}\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] $ + $ [mm] \red{0}\cdot{}\cdot{}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+\red{0}\cdot{}\cdot{}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\1 \end{pmatrix}. [/mm] $
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:02 Do 17.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Demnach müsste ich für den 2. Basisvektor auf:
[mm] \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B=0*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+1*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+0*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} [/mm] kommen.
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> Demnach müsste ich für den 2. Basisvektor auf:
> [mm]\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}_B=0*\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}+1*\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}+0*\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}[/mm]
> kommen.
Ja.
Gruß v. Angela
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:43 Do 17.04.2008 | | Autor: | DerGraf |
Vielen Dank für deine Hilfe. Ich hab die Aufgabe heute in der Uni mit einem anderen Studenten zusammen gelöst. Deine Tipps haben uns dabei sehr geholfen.
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