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| Aufgabe | | Wir suchen Lösungen [mm] u(x,t),x\in\mathbb{R},t\geq0 [/mm] der Anfangswertaufgabe [mm] u_{t}+(F(u))_{x}=0,u(x,0)=u_{0}(x),u_{0}\in\mathcal{C}^{3} [/mm] beschränkt, unter den Annahmen [mm] F\in\mathcal{C}^{4} [/mm] und [mm] F''(v)>0.v\in\mathbb{R}. [/mm] Welche Annahme an die Anfangsfunktion müssen wir machen, um zu garantieren, dass eine stetig diffbare Lösung für alle Zeiten [mm] t\geq0 [/mm] existiert? Für welche Funktionen [mm] u_{0} [/mm] können sich nach endlicher Zeit Schocks ausbilden? |
Hallo,
ich weiß nicht so recht was ich genau machen muss, um die Fragen zu beantworten. Ich habe einfach mal folgendes gemacht, was mich aber nicht wirklich in die Nähe einer Antwort gebracht hat. Es gilt [mm] F(u)_{x}=F'(u)\cdot u_{x}. [/mm] Jetzt mit der Methode der Charakteristiken [mm] F'(u)=\xi'(t) [/mm] und [mm] \xi(0)=x_{0}, [/mm] wenn wir annehmen, dass [mm] u(\xi(t),t) [/mm] eine Lösung der Aufgabe ist. Integriert man das, kommt man zu [mm] \xi(t)=F(u)-F(u_{0}(x_{0}))-x_{0}. [/mm] Setzt man dann [mm] \xi(t)=x, [/mm] erhält man eine implizite Gleichung, die man nach [mm] x_{0} [/mm] auflösen müsste.
Aber wie kann ich jetzt etwas über die Voraussetzung an die Anfangsfunktion [mm] u_{0} [/mm] aussagen in bezug auf eine stetig diffbare Lösung für alle Zeiten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 Mi 03.11.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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