Vorbereitung Klausur < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | Entscheiden Sie, ob die folgenden Mengen parametrisierbare, eingebettete oder topologische Mannigfaltigkeiten sind.
a) X={(x1,x2,x3) [mm] \in \IR^3 [/mm] | [mm] x_{1}^2+x_{2}^2+x_{3}^2 [/mm] = 1}
b) X={(x1,x2) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] |x_{2}|=x_{1}^2, [/mm] x1 [mm] \in [/mm] (-1,1)}
c) X={(x1,x2) [mm] \in IR^2 [/mm] | [mm] |x_{2}| [/mm] = [mm] x_{1}, [/mm] x1 [mm] \in [/mm] (-1,1)}
d) X={(x1,x2) [mm] \in \IR^2 [/mm] | [mm] x_{2} [/mm] = [mm] sin(1/x_{1}), [/mm] x1 > 0 } |
Hallo Leute,
ich bereite mich gerade auf die Analysis 3 Klausur vor. Schwerpunkt scheinen Mannigfaltigkeiten zu werden. Obige Aufgabe war mal Teil einer Miniklausur - leider konnte ich sie vor 3 Monaten nicht lösen und bis heute liegt mir keine richtige Lösung vor. Da ich befürchte, dass eine abgewandelte Aufgabe in der Klausur vorkommt, wäre es super, wenn mir das jemand erklären könnte.
Gibt es irgendwelche Tipps, woran man das erkennt?
Oder muss man das alles nachprüfen?
Habt ihr sonst noch irgendwelche typischen Aufgabenstellungen zu diesem Thema, die ich mir vielleicht anschauen sollte?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:49 Mo 26.01.2015 | | Autor: | fred97 |
Wann heißt denn eine Teilmenge X des [mm] \IR^n
[/mm]
eine parametrisierbare Mannigfaltigkeit ,
eine eingebettete Mannigfaltigkeit,
eine topologische Mannigfaltigkeit ?
FRED
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:03 Mo 26.01.2015 | | Autor: | Rocky14 |
Eine Teilmenge X [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt zusammenhängende, eindimensionale, parametrisierbare Mannigfaltigkeit, wenn es eine homöomorphe reguläre Abbildung [mm] \alpha: [/mm] (0,1) [mm] \to [/mm] X gibt.
[mm] \alpha [/mm] homöomorph = [mm] \alpha [/mm] bijektiv, [mm] \alpha [/mm] stetig, [mm] \alpha^{-1} [/mm] stetig
[mm] \alpha [/mm] regulär = [mm] \alpha [/mm] hat maximalen Rang und ist stetig diffbar.
Eine Teilmenge x [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt d-dimensionale parametrisierbare Mannigfaltigkeit, falls es eine offene Teilmenge v [mm] \subset \IR^d [/mm] und eine hmöomorphe und reguläre Abbildung [mm] \alpha: [/mm] V [mm] \to [/mm] X gibt.
=> Sehe ich das richtig, das der einzige Unterschied der Definitionsbereich ist?
=> Ist die d-dim.p.Mf damit insbesondere eine zh.e.p.Mf?
Eine Teilmenge X [mm] \subset \IR^n [/mm] heißt eingebettete d-dimensionale Mannigfaltigkeit, falls es zu jedem Punkt a [mm] \in [/mm] X eine offene Umgebung U(a) [mm] \subset \IR^n [/mm] gibt, sodass U(a) [mm] \cap [/mm] X eine d-dim. parametrisierbare Mf ist.
=> Mit dieser Definition kann ich gar nicht arbeiten...
Ein metrischer Raum X heißt topologische Mannigfaltigkeit, falls es zu jedem Punkt a [mm] \in [/mm] X eine offene Umgebung U(a) gibt, welche zu einer offenen Menge des [mm] \IR^n [/mm] homöomorph ist.
=> Ähnliches Problem, wie bei vorheriger Definition
Eine differenzierbare Mannigfaltigkeit ist ein Paar (X,A), welches aus einer topologischen Mannigfaltigkeit X und einem diffbaren Atlas A besteht.
=> Wird mir vielleicht klarer, wenn ich die topologische Mannigfaltigkeit verstanden habe.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Mi 28.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
