W-Maß / Mü-stetig < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:49 Do 03.12.2009 | | Autor: | SusanneK |
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,\mathcal{A},P) [/mm] ein W-Raum und sei [mm] X \in \mathcal{M^+}(\mathcal{A}) [/mm] mit [mm] P_X=1_{(0,1)}\lambda [/mm] (d.h. die Verteilung von X ist eine stetige Gleichverteilung auf (0,1)).
Seine weiter [mm] a \in (0,1) [/mm] und [mm] \mu:=1_{(0,1)}(\mu_a+\lambda) [/mm] wobei [mm] \mu_a [/mm] das Punktmaß in a ist.
Zeigen Sie:
a) [mm] Q:=\mu/2 [/mm] ist ein W-Maß
b) [mm] P_X [/mm] ist [mm] \mu-stetig [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Hallo,
leider komme ich mit dem [mm] \mu [/mm] nicht zurecht:
a) Um zu zeigen, dass Q ein W-Maß ist, muss [mm] Q(\Omega) = 1 [/mm] sein.
Dafür verstehe ich die Definition von [mm] \mu [/mm] leider nicht so richtig.
Wenn x=a, dann ist [mm] \mu=1 \cdot (1 + \lambda) [/mm], ansonsten (wenn x in (0,1) liegt aber nicht a ist) ist [mm] \mu=1 \cdot (0 + \lambda) [/mm].
Stimmt das so ?
Was mache ich mit [mm] \lambda [/mm] ?
b) Hier kommt wahrscheinlich eine Dichte ins Spiel ?:
[mm] P_X(x) [/mm] wäre dann x für ein x im Intervall (0,1).
Das bedeutet, [mm] P_X [/mm] ist bis auf einen Punkt immer 0 und ich muss zeigen, dass die Ableitung von [mm] P_X [/mm] an diesen Stellen auch immer 0 ist ?
Wie man an meinen Fragen sieht, habe ich die Zusammenhänge noch nicht so richtig verstanden.
Vielen Dank für jede Hilfe !!
LG, Susanne.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:55 So 13.12.2009 | | Autor: | Eveballmer |
Ich habe die gleich Frage zu beantworten.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 So 13.12.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Susanne!
> Sei [mm](\Omega,\mathcal{A},P)[/mm] ein W-Raum und sei [mm]X \in \mathcal{M^+}(\mathcal{A})[/mm]
> mit [mm]P_X=1_{(0,1)}\lambda[/mm] (d.h. die Verteilung von X ist
> eine stetige Gleichverteilung auf (0,1)).
>
> Seine weiter [mm]a \in (0,1)[/mm] und [mm]\mu:=1_{(0,1)}(\mu_a+\lambda)[/mm]
> wobei [mm]\mu_a[/mm] das Punktmaß in a ist.
>
> Zeigen Sie:
> a) [mm]Q:=\mu/2[/mm] ist ein W-Maß
> b) [mm]P_X[/mm] ist [mm]\mu-stetig[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
>
> Hallo,
> leider komme ich mit dem [mm]\mu[/mm] nicht zurecht:
> a) Um zu zeigen, dass Q ein W-Maß ist, muss [mm]Q(\Omega) = 1[/mm]
> sein.
> Dafür verstehe ich die Definition von [mm]\mu[/mm] leider nicht so
> richtig.
> Wenn x=a, dann ist [mm]\mu=1 \cdot (1 + \lambda) [/mm], ansonsten
> (wenn x in (0,1) liegt aber nicht a ist) ist [mm]\mu=1 \cdot (0 + \lambda) [/mm].
>
> Stimmt das so ?
> Was mache ich mit [mm]\lambda[/mm] ?
Geh doch systematisch vor beim Einsetzen:
[mm] Q(\Omega) = \bruch{1}{2} \mu(\Omega) [/mm]
Da [mm] $1_{(0,1)}(x) [/mm] = 0$ für [mm] $x\notin [/mm] (0,1)$, ist dies
[mm] Q(\Omega) = \bruch{1}{2} (\mu_a(\Omega \cap (0,1)) + \lambda(\Omega\cap (0,1)) [/mm]
Wenn gilt: [mm] $(0,1)\subset \Omega$, [/mm] ist die Aussage sofort klar. Ich verstehe im Moment nur nicht, wieso ich das annehmen kann.
> b) Hier kommt wahrscheinlich eine Dichte ins Spiel ?:
> [mm]P_X(x)[/mm] wäre dann x für ein x im Intervall (0,1).
> Das bedeutet, [mm]P_X[/mm] ist bis auf einen Punkt immer 0 und ich
> muss zeigen, dass die Ableitung von [mm]P_X[/mm] an diesen Stellen
> auch immer 0 ist ?
Da musst zeigen, dass aus [mm] $\mu(A)=0$ [/mm] immer [mm] $P_X(A)=0$ [/mm] folgt. Bedenke dabei, dass per Definition gilt:
[mm] \mu = P_X + 1_{(0,1)}\mu_a [/mm]
Der zweite Summand ist immer entweder 0 oder 1.
Viele Grüße
Rainer
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:43 Do 17.12.2009 | | Autor: | SusanneK |
Hallo Rainer,
vielen Dank für Deine Hilfe !!
Ich melde mich so spät, weil ich ein paar Tage nicht mehr im Forum war, weil ich glaubte, keine Antwort mehr zu bekommen.
LG, Susanne.
|
|
|
|
