W'keit,Augensumme,Würfel < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:24 Di 11.09.2012 | | Autor: | simplify |
Hallihallo....
ich habe gerade ein kleines Problem. Mir fehlt der Ansatz für eine Fragestellung, die ich mir quasi selber stelle.
Man nehme einen fairen Würfel und würfle bis man eine gewisse Augensumme erreicht hat. Z.B. soll man stoppen, wenn mindestens 12 Punkte erreicht wurden. Falls vorher eine 1 fällt sind die würfe beendet und die Punkte auf null gesetzt.
Ich wollte jetzt die W'keit berechnen diese 12 Punkte zu erreichen nur irgendwie fällt mir kein gescheiter Ansatz ein.
Erst habe ich an ein riesiges Baumdiagramm gedacht,aber du muss ich mich ja quasi vorher entscheiden wie oft ich würfle.
Hat jemand eine Idee wie man das Problem lösen kann?
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Hiho,
deine Frage lässt sich ja im ersten Schritt wie folgt formulieren:
Wie lange muss ich würfeln, bis die Summe meiner Würfe 12 ist oder ich eine 1 gewürfelt hab.
Oder generell: Wie oft muss ich ein Experiment ausführen, bis mein gewünschtes Ereignis eingetreten ist.
Diese Frage lässt sich mit der ![[]](/images/popup.gif) negativen Binomialverteilung beantworten.
Das wäre also erstmal dein Ansatz 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Do 13.09.2012 | | Autor: | simplify |
Vielen Dank für diesen Wink.
Hab mich jetzt auch etwas damit beschäftigt,aber eine Frage bleibt mir trotzdem noch:
Wie berechne ich die W'keit 12 Punkte zu erwürfeln ohne vorher eine 1 zu bekommen?
Die negative Binomialverteilung gibt mir doch nur an mit welcher W'keit genau eine (oder allgemein r-mal) 1 gewürfelt wird, wenn insgesamt n-mal der Würfel fällt,oder ??
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Nach spätestens sechs Würfen fällt eine Entscheidung, denn der günstige Ausgang mit den geringsten Augenzahlen ist 222222. Als Wahrscheinlichkeitsraum kann man daher den Laplace-Raum [mm]\Omega[/mm] aller Sextupel
[mm]\omega = i_1 \, \ldots \, i_6 \ \ \text{mit} \ \ i_1,\ldots,i_6 \in \{ 1,\ldots,6 \}[/mm]
nehmen. Für seine Mächtigkeit gilt: [mm]| \Omega | = 6^6[/mm]. Wenn die Entscheidung nach weniger als sechs Würfen fällt, weil eine 1 gewürfelt wurde, ohne daß zuvor die Augensumme 12 erreicht wurde, oder weil die Augensumme 12 (ohne 1) bereits erreicht ist, wird man in der Praxis zwar nicht weiter würfeln, in unserm Modell dagegen schon. Das muß man in der Rechnung so berücksichtigen, daß man in den Würfen nach der Entscheidung alle Möglichkeiten zuläßt.
Beispiel 1: Man würfelt 5331. Die Entscheidung ist gefallen. Jetzt muß man für diesen Ausgang alle Sextupel der Gestalt 5331**, wo jeder * für eine der Zahlen von 1 bis 6 steht, zählen.
Beispiel 2: Man würfel 535. Die Entscheidung ist gefallen. Hier muß man entsprechend alle Sextupel der Gestalt 535*** zählen.
Im Modell ist ein Fall genau dann günstig, wenn entweder keine 1 im Sextupel vorkommt oder die Augensumme vor der ersten 1 größer oder gleich 12 ist. Es sei A die Menge der günstigen Fälle. Dann ist
[mm]P(A) = \frac{|A|}{| \Omega |} = \frac{|A|}{6^6}[/mm]
Jetzt kommt es also darauf an, [mm]|A|[/mm] zu bestimmen. Für [mm]1 \leq j \leq 6[/mm] sei [mm]A_j[/mm] diejenige Teilmenge von [mm]A[/mm], wo die erste 1 an der Stelle [mm]j[/mm] steht. Zusätzlich sei [mm]A_7[/mm] die Menge aller [mm]\omega[/mm], die keine 1 enthalten. Dann ist die Vereinigung
[mm]A = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup A_4 \cup A_5 \cup A_6 \cup A_7[/mm]
disjunkt, so daß man die Mächtigkeit von [mm]A[/mm] als Summe der Mächtigkeiten der [mm]A_j[/mm] enthält.
Offensichtlich gilt: [mm]A_1 = A_2 = \emptyset[/mm], denn wenn eine 1 an der ersten oder zweiten Stelle steht, gibt es keine günstigen Fälle.
Zu [mm]A_3[/mm] gehört nur 661, zu zählen sind also alle Sextupel 661***, das sind [mm]6^3[/mm] Stück:
[mm]\left| A_3 \right| = 6^3[/mm]
Zur Bestimmung der Mächtigkeit von [mm]A_4[/mm] schauen wir uns zunächst diejenigen Sextupel [mm]\omega[/mm] an, wo vor der ersten 1 die Augensumme 12 nicht erreicht wird.
2221** 1-mal
2231** 3-mal
2241** 3-mal
2251** 3-mal
2261** 3-mal
2331** 3-mal
2341** 6-mal
2351** 6-mal
2361** 6-mal
2441** 3-mal
2451** 6-mal
3331** 1-mal
3341** 3-mal
3351** 3-mal
3441** 3-mal
Beim Tripel vor der 1 habe ich die Zahlen aufsteigend geordnet. Dahinter habe ich immer geschrieben, wie viele Permutationen des Tripels es gibt, z.B. steht 334 stellvertretend für die drei Tripel 334,343,433.
Von [mm]5^3[/mm] möglichen Tripeln sind also 53 ungünstig, somit [mm]5^3 - 53[/mm] günstig. Es folgt:
[mm] \left| A_4 \right| [/mm] = [mm] \left( 5^3 - 53 \right) \cdot 6^2
[/mm]
Jetzt zu [mm]A_5[/mm]. Auch hier zunächst die Mißerfolge:
22221* 1-mal
22231* 4-mal
22241* 4-mal
22251* 4-mal
22331* 6-mal
22341* 12-mal
23331* 4-mal
[mm]\left| A_5 \right| = \left( 5^4 - 35 \right) \cdot 6[/mm]
Jetzt zu [mm]A_6[/mm]. Die Mißerfolge:
222221 1-mal
222231 5-mal
[mm]\left| A_6 \right| = 5^5 - 6[/mm]
Und schließlich noch
[mm]\left| A_7 \right| = 5^6[/mm]
So kommt man auf
[mm]P(A) = \frac{25092}{46656} = \frac{697}{1296} \approx 0{,}538[/mm]
Die Wahrscheinlichkeit, eine Augensumme von mindestens 12 zu erreichen, wenn man so lange würfelt, bis eine 1 fällt, beträgt also etwa 53,8 %.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:12 Di 18.09.2012 | | Autor: | simplify |
vielen dank für due ausführliche antwort.
aber was ist denn,wenn ich den fall betrachte, dass statt der 1 keine 6 gewürfelt werden darf?
dann kann ich das doch nicht mehr wirklich per "nachzählen" berechnen?
gibt es dafür eine elegantere lösung?
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Hallo simplify,
> aber was ist denn,wenn ich den fall betrachte, dass statt
> der 1 keine 6 gewürfelt werden darf?
> dann kann ich das doch nicht mehr wirklich per
> "nachzählen" berechnen?
In diesem Fall fällt eine Entscheidung spätestens nach 12 Würfen. Abzählen ist also immer noch möglich.
Die entsprechende Wahrscheinlichkeit wird natürlich geringer sein als in demjenigen Fall, bei dem man keine 1 Würfeln darf.
Schöne Grüße
franzzink
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Ob es eine elegantere Lösung gibt, weiß ich nicht. Wüßte ich's, ich hätt's dir gesagt.
In der neuen Aufgabe ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit
[mm]p = \frac{983602985}{2176782336} \approx 0{,}452[/mm]
Prinzipiell kannst du genau so vorgehen wie bei der Originalaufgabe. Wenn du die Tupel vor der ersten 6 betrachtest, wird es manchmal vorteilhafter sein, die günstigen, und manchmal vorteilhafter, die ungünstigen zu bestimmen.
Das Ergebnis oben habe ich mit brute force erhalten.
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