W'keit beim Kartenaufdecken < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist ein gut gemischtes, durchnummeriertes Kartendeck mit n Karten.
Nun werden die einzelnen Karten verdeckt nacheinander auf den Tisch gelegt.
Danach wird Karte für Karte aufgedeckt.
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit p, dass die i-te aufgedeckte Karte kleiner ist als ihr Nachfolger? Begründe die Antwort. |
Ich habe leider keine Ahnung wie ich hier vorgehen soll, deshalb habe ich einfach mal etwas rumprobiert.
Die Zufallsvariable X sei die Nummer der momentan aufgedeckten Karte.
Ich glaube nun, je höher der Wert von X ist, desto höher die Chance, dass die nächste Karte einen niedrigeren Wert hat.
Also würde ich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit Abhängig von den Karten ist, die bereits gezogen wurde.
Leider ist die Antwort p = 1/2 :)
Mein Frage ist nun: Warum?!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:55 Do 17.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Die Zufallsvariable X sei die Nummer der momentan
> aufgedeckten Karte.
> Ich glaube nun, je höher der Wert von X ist, desto höher
> die Chance, dass die nächste Karte einen niedrigeren Wert
> hat.
> Also würde ich sagen, dass die Wahrscheinlichkeit
> Abhängig von den Karten ist, die bereits gezogen wurde.
>
Nach dieser bedingten Wahrscheinlichkeit ist aber überhaupt nicht gefragt.
Mache dir zunächst klar, dass es auf die Nummer i in der Aufgabenstellung gar nicht ankommt. Es genügt also, das Problem für den Fall i=1 zu betrachten, z.B. mit einem Baumdiagramm. Wenn du dich ein wenig mit Summenformeln auskennst, wirst du die Lösung leicht finden.
Gruß Sax.
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Okay, für i = 1 verstehe ich warum p=1/2 sein muss.
Denn für den Grundraum gilt:
[mm] \Omega [/mm] = [mm] \{ (x_1, x_2) | x_1, x_2 \in \IN: x_1 < n \wedge x_2 < n\}
[/mm]
Die Menge an Eregnisen die Interessiert ist also:
[mm] \mathcal{A} [/mm] = [mm] \{ (x_1, x_2) \in \Omega | x_1 < x_2\}
[/mm]
Das Komplement dieser Menge ist:
[mm] \mathcal{A}^c [/mm] = [mm] \{ (x_1, x_2) \in \Omega | x_2 < x_1\}
[/mm]
Es gilt [mm] \mathcal{A} \cup \mathcal{A}^c [/mm] = [mm] \Omega [/mm] und [mm] |\mathcal{A}| [/mm] = [mm] |\mathcal{A}^c|
[/mm]
Edit: Und [mm] \mathcal{A} \cap \mathcal{A}^c [/mm] = [mm] \emptyset
[/mm]
=> [mm] \IP(\mathcal{A}) [/mm] = 1/2.
Für die ersten beiden Karten die man aufdeckt ist mir das also halbwegs klar.
Für den Moment, in dem man die 3. Karte aufdeckt und somit die 2. Karte mit der 3. Karte vergleicht, ist mir das nichtmehr klar, da sich durch das "entnehmen" der Karten die Wahrscheinlichkeit, welche Nummer die 3. Karte hat verändert.
Kurz gesagt: Ich verstehe nicht, warum es hier nicht um bedingte Wahrscheinlichkeiten geht.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:57 Do 17.01.2013 | | Autor: | Sax |
Hi,
wäre das Mischen etwas anders abgelaufen, oder hätte vor dem Aufdecken noch jemand abgehoben, wären die Karten, die du jetzt als zweite und dritte untersuchst, die erste und zweite im Stapel.
Gruß Sax.
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