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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:13 So 06.09.2015 | | Autor: | nkln |
| Aufgabe | In einem Supermarkt soll mittels eines neu entwickelten Werbeplakats zum Kauf zweier Produkte [mm] $P_1$ [/mm] und [mm] $P_2$ [/mm] animiert werden.
Es bezeichne $A$ das Ereignis, dass ein (zufällig ausgewählter) Kunde Produkt [mm] $P_1$ [/mm] kauft, $B$ das Ereignis, dass der Kunde Produkt [mm] $P_2$ [/mm] kauft, und [mm] $(\Omega;F; [/mm] P)$ den zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraum
(d.h. [mm] $\Omega \neq \emptyset$ [/mm] ; bezeichne die zugehörige Ergebnismenge, $F [mm] \subseteq Pot(\Omega)$ [/mm] die zugehörige [mm] $\sigma-$Algebra [/mm] sowie $P : F [mm] \to [/mm] [0; 1] $die zugehörigeWahrscheinlichkeitsverteilung).
Bekannt seien die drei folgenden Wahrscheinlichkeiten:
$P(A) [mm] =\frac{1}{2}; [/mm] P(B) [mm] =\frac{1}{5}; [/mm] P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] =\frac{1}{10}$
[/mm]
:
Berechnen Sie aus diesen Angaben die folgenden Wahrscheinlichkeiten:
$(i) P(A [mm] \cup [/mm] B) ,(ii) [mm] P(A^c \cap B^c),(iii) [/mm] P((A [mm] \cap B)^c),(iv) [/mm] P(A [mm] \cup B^c),(v) [/mm] P(A [mm] \cap (A^c \cup [/mm] B),(vi) [mm] P((A^c \cap B^c) \cup (A\cap [/mm] B))$
.
Beschreiben Sie weiterhin die in $(i)-(vi)$ betrachteten Ereignisse jeweils verbal im Rahmendes gegebenen Zusammenhangs. |
$(i) P(A [mm] \cup [/mm] B) = P(A)+P(B) - P(A [mm] \cap [/mm] B) [mm] =\frac{1}{2}+\frac{1}{5} -\frac{1}{10}=\frac{6}{10}$
[/mm]
$(ii) [mm] P(A^c \cap B^c)= [/mm] 1-P(A [mm] \cap [/mm] B) = [mm] 1-\frac{1}{10} [/mm] = [mm] \frac{9}{10}$
[/mm]
$(iii) P((A [mm] \cap B)^c) \overbrace{=}^{De morgan}P(A^c \cup B^c)= [/mm] 1-P(A [mm] \cup [/mm] B)= [mm] 1-\frac{6}{10}= \frac{4}{10}$
[/mm]
$((v) P(A [mm] \cap (A^c \cup [/mm] B)=P((A [mm] \cap A^c) \cup [/mm] (A [mm] \cap B))=P(\emptyset \cup [/mm] (A [mm] \cap [/mm] B))= P(A [mm] \cap B)=\frac{1}{10} [/mm] ,$
$((vi) [mm] P((A^c \cap B^c) \cup (A\cap B))=P(A^c \cap B^c) [/mm] + [mm] P(A\cap [/mm] B)- [mm] P((A^c \cap B^c) \cap (A\cap B))=P(A^c \cap B^c) [/mm] + [mm] P(A\cap B)-P(\emptyset)=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}-0=1$
[/mm]
bei der $iv)$ habe keine ahnung kann das so machen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:21 So 06.09.2015 | | Autor: | Fulla |
Hallo nkln!
> In einem Supermarkt soll mittels eines neu entwickelten
> Werbeplakats zum Kauf zweier Produkte [mm]P_1[/mm] und [mm]P_2[/mm] animiert
> werden.
> Es bezeichne [mm]A[/mm] das Ereignis, dass ein (zufällig
> ausgewählter) Kunde Produkt [mm]P_1[/mm] kauft, [mm]B[/mm] das Ereignis,
> dass der Kunde Produkt [mm]P_2[/mm] kauft, und [mm](\Omega;F; P)[/mm] den
> zugehörigen Wahrscheinlichkeitsraum
> (d.h. [mm]\Omega \neq \emptyset[/mm] ; bezeichne die zugehörige
> Ergebnismenge, [mm]F \subseteq Pot(\Omega)[/mm] die zugehörige
> [mm]\sigma-[/mm]Algebra sowie [mm]P : F \to [0; 1] [/mm]die
> zugehörigeWahrscheinlichkeitsverteilung).
>
>
> Bekannt seien die drei folgenden Wahrscheinlichkeiten:
> [mm]P(A) =\frac{1}{2}; P(B) =\frac{1}{5}; P(A \cap B) =\frac{1}{10}[/mm]
>
> :
> Berechnen Sie aus diesen Angaben die folgenden
> Wahrscheinlichkeiten:
> [mm](i) P(A \cup B) ,(ii) P(A^c \cap B^c),(iii) P((A \cap B)^c),(iv) P(A \cup B^c),(v) P(A \cap (A^c \cup B),(vi) P((A^c \cap B^c) \cup (A\cap B))[/mm]
>
> .
> Beschreiben Sie weiterhin die in [mm](i)-(vi)[/mm] betrachteten
> Ereignisse jeweils verbal im Rahmendes gegebenen
> Zusammenhangs.
Hier hilft eine Vierfeldertafel:
[mm]\begin{tabular}[ht]{c|c|c|c}
& \ensuremath{A} & \ensuremath{A^c} & \\
\hline
\ensuremath{B} & \red{0.1} & 0.1&\red{0.2} \\
\hline
\ensuremath{B^c} & 0.4 & 0.4 & 0.8\\
\hline
& \red{0.5} & 0.5 & 1\\
\end{tabular}[/mm]
Dabei sind die Wahrscheinlichkeiten aus der Angabe rot markiert.
> [mm](i) P(A \cup B) = P(A)+P(B) - P(A \cap B) =\frac{1}{2}+\frac{1}{5} -\frac{1}{10}=\frac{6}{10}[/mm]
Das stimmt. (Alternative: [mm]P(A\cup B)=1-P((A\cup B)^c)=1-P(A^c\cap B^c)=1-0.4=0.6[/mm])
> [mm](ii) P(A^c \cap B^c)= 1-P(A \cap B) = 1-\frac{1}{10} = \frac{9}{10}[/mm]
Nein, wenn du hier de Morgan anwenden willst, muss es heißen [mm]P(A^c\cap B^c)=P((A\cup B)^c)=1-P(A\cup B)=1-0.6=0.4[/mm], wobei man hier (i) verwenden kann.
> [mm](iii) P((A \cap B)^c) \overbrace{=}^{De morgan}P(A^c \cup B^c)= 1-P(A \cup B)= 1-\frac{6}{10}= \frac{4}{10}[/mm]
Hier machst du im zweiten Schritt den gleichen Fehler wie in (ii). (Die Wahrscheinlichkeit [mm]P(A\cap B)=0.1[/mm] steht doch schon in der Angabe... Damit bist du gleich fertig.)
> [mm]((v) P(A \cap (A^c \cup B)=P((A \cap A^c) \cup (A \cap B))=P(\emptyset \cup (A \cap B))= P(A \cap B)=\frac{1}{10} ,[/mm]
Ja, richtig.
> [mm]((vi) P((A^c \cap B^c) \cup (A\cap B))=P(A^c \cap B^c) + P(A\cap B)- P((A^c \cap B^c) \cap (A\cap B))=P(A^c \cap B^c) + P(A\cap B)-P(\emptyset)=\frac{9}{10}+\frac{1}{10}-0=1[/mm]
Fast. [mm]P(A^c\cap B^c)\neq 0.9[/mm] (siehe (ii)).
> bei der [mm]iv)[/mm] habe keine ahnung kann das so machen?
Z.B. so: [mm]P(A\cup B^c)=1-P(A^c\cap B)=1-0.1=0.9[/mm], wobei die 0.1 aus der Vierfeldertafel kommen.
Lieben Gruß,
Fulla
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