W'keitsfkt. einer Lotterie < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 Mo 06.04.2009 | | Autor: | grenife |
| Aufgabe | Gegeben sei eine Lotterie mit zwei Preisen. Der erste Lotteriesieger darf eine Wahrscheinlichkeit [mm] $p\in[1/e;1-1/e]$ [/mm] wählen. Anschließend wird eine Folge von unabhängigen Münzwürfen durchgeführt, wobei die Wahrscheinlichkeit für den Wurf "Kopf" $p$ betragen soll und nach dem ersten Mal "Kopf" die Folge beendet wird. Der erste Lotteriesieger erhält für jeden Wurf einschließlich des ersten "Kopf"-Wurfes 10. Die Münze wird wiederum unabhängig geworfen und der zweite Lotteriesieger erhält für jeden Wurf einschließlich des ersten "Kopf"-Wurfes 5.
(i) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeitsfunktionen der Gewinne $X$ und $Y$ des ersten und zweiten Lotteriesiegers.
(ii) Welche Wahrscheinlichkeit $p$ sollte der erste Lotteriesieger wählen, um seinen erwarteten Gewinn $E(X)$ zu maximieren?
(iii) Der erste Lotteriesieger entscheidet sich, [mm] $E\left(\frac{X}{Y}\right)$ [/mm] zu maximieren. Wählt er hierfür eine andere Wahrscheinlichkeit $p$? Begründen Sie Ihre Antwort! Berechnen Sie den optimalen Wert von [mm] $E\left(\frac{X}{Y}\right)$. [/mm] |
Hallo zusammen,
habe bei dieser Aufgabe eine Vermutung, was die Verteilung angeht, aber bevor ich weiterrechne wollte ich diese hier mal posten.
zu (i): mir scheint, dass $X$ und $Y$ geometrisch verteilt sind, da diese ja genau die Wahrscheinlichkeit für die Anzahl an Bernoulli-Versuchen, die benötigt werden um zum ersten Mal "Kopf" zu werfen, angibt. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der $k$-te Wurf zum ersten Mal "Kopf" liefert, wäre dann
[mm] $P(Z=k)=(1-p)^{k-1}p$
[/mm]
Der Gewinn hängt nun von $Z$ ab und wahrscheinlich müsste ich nur die Anzahl der benötigten Würfe (ZVe $Z$) in die Gewinne des ersten Siegers (ZVe $X$) umformen.
Ist das soweit richtig, oder bin ich hier komplett auf dem Holzweg?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:21 Sa 11.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> zu (i): mir scheint, dass [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] geometrisch verteilt
> sind, da diese ja genau die Wahrscheinlichkeit für die
> Anzahl an Bernoulli-Versuchen, die benötigt werden um zum
> ersten Mal "Kopf" zu werfen, angibt. Die Wahrscheinlichkeit
> dafür, dass der [mm]k[/mm]-te Wurf zum ersten Mal "Kopf" liefert,
> wäre dann
>
> [mm]P(Z=k)=(1-p)^{k-1}p[/mm]
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Aber bitte etwas genauer: Was ist k?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 Di 14.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hi,
vielen Dank für Deine Antwort!
[mm] $k\in\mathbb{N}$ [/mm] ist zunächst eine Anzahl an Würfen. $P(Z=k)$ gibt mir dann die W'keit dafür an, dass beim $k$-ten Wurf zum ersten Mal ein "Kopf" gefallen ist.
Dann müssten doch die W'keitsfunktionen der Gewinne so aussehen:
[mm] $P(X=k)=(1-p)^{(k/10)-1}p$ [/mm] für [mm] $k\in\left\{10;20;30\ldots,\right\}$
[/mm]
und
[mm] $P(Y=k)=(1-p)^{(k/5)-1}p$ [/mm] für [mm] $k\in\left\{5;10;15\ldots,\right\}$
[/mm]
Viele Grüße
Gregor
> > zu (i): mir scheint, dass [mm]X[/mm] und [mm]Y[/mm] geometrisch verteilt
> > sind, da diese ja genau die Wahrscheinlichkeit für die
> > Anzahl an Bernoulli-Versuchen, die benötigt werden um zum
> > ersten Mal "Kopf" zu werfen, angibt. Die Wahrscheinlichkeit
> > dafür, dass der [mm]k[/mm]-te Wurf zum ersten Mal "Kopf" liefert,
> > wäre dann
> >
> > [mm]P(Z=k)=(1-p)^{k-1}p[/mm]
> >
>
>
>
> Aber bitte etwas genauer: Was ist k?
>
> vg Luis
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 14.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> Dann müssten doch die W'keitsfunktionen der Gewinne so
> aussehen:
>
> [mm]P(X=k)=(1-p)^{(k/10)-1}p[/mm] für
> [mm]k\in\left\{10;20;30\ldots,\right\}[/mm]
>
> und
>
> [mm]P(Y=k)=(1-p)^{(k/5)-1}p[/mm] für
> [mm]k\in\left\{5;10;15\ldots,\right\}[/mm]
>
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:16 Di 14.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hi,
dann mache ich mich doch auch gleich an die zweite Teilaufgabe ran (Erwartungswerte):
Die W'keitsfunktion schreibe ich noch etwas anders:
[mm] $P(X=k)=(1-p)^{n-1}p$ [/mm] für [mm] $k=10,20,\ldots$ [/mm] und $n=k/10$.
Dann gilt
[mm] $E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}10n(1-p)^{n-1}p$, [/mm] intutiv: die übliche geometrische Verteilung liefert mir die W'keit dafür, dass der $n$-te Wurf zum ersten Mal "Kopf" liefert, dann bekomme ich $n$ mal $10$ Euro. Den Erwartungswert bilde ich über alle möglichen $n$s.
[mm] $=10\sum_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1}p$
[/mm]
[mm] $=10\frac{1}{p}$, [/mm] da die Summe gleich dem Erwartungswert der gewöhnlichen geometrischen Verteilung ist.
Für $Y$ ergibt sich dann [mm] $E(Y)=\frac{5}{p}$.
[/mm]
Der Lotteriesieger maximiert somit [mm] $\max_p\left\{10/p\right\}$ [/mm] und wählt $p=1/e$.
Soweit richtig, oder habe ich etwas übersehen?
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:47 Di 14.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> Hi,
>
> dann mache ich mich doch auch gleich an die zweite
> Teilaufgabe ran (Erwartungswerte):
> Die W'keitsfunktion schreibe ich noch etwas anders:
> [mm]P(X=k)=(1-p)^{n-1}p[/mm] für [mm]k=10,20,\ldots[/mm] und [mm]n=k/10[/mm].
>
> Dann gilt
> [mm]E(X)=\sum_{n=1}^{\infty}10n(1-p)^{n-1}p[/mm], intutiv: die
> übliche geometrische Verteilung liefert mir die W'keit
> dafür, dass der [mm]n[/mm]-te Wurf zum ersten Mal "Kopf" liefert,
> dann bekomme ich [mm]n[/mm] mal [mm]10[/mm] Euro. Den Erwartungswert bilde
> ich über alle möglichen [mm]n[/mm]s.
> [mm]=10\sum_{n=1}^{\infty}n(1-p)^{n-1}p[/mm]
> [mm]=10\frac{1}{p}[/mm], da die Summe gleich dem Erwartungswert der
> gewöhnlichen geometrischen Verteilung ist.
>
> Für [mm]Y[/mm] ergibt sich dann [mm]E(Y)=\frac{5}{p}[/mm].
>
> Der Lotteriesieger maximiert somit
> [mm]\max_p\left\{10/p\right\}[/mm] und wählt [mm]p=1/e[/mm].
>
> Soweit richtig, oder habe ich etwas übersehen?
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:13 Mi 15.04.2009 | | Autor: | grenife |
Hallo zusammen,
habe zu Teilaufgabe (iii) eine kleine Frage. Kann ich die Verteilung von [mm] $\frac{X}{Y}$ [/mm] explizit bestimmen, oder muss ich mir die Verteilung quasi "zu Fuß" erarbeiten? Bin gerade dabei den Wertebereich dieser neuen ZVe über
[mm] $\left\{10;20;\ldots\right\}\times\left\{5;10;\ldots\right\}$
[/mm]
zu bestimmen, aber das scheint mir sehr mühselig zu sein.
Vielen Dank für Eure Tipps und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:29 Mi 15.04.2009 | | Autor: | luis52 |
> Bin gerade dabei den Wertebereich dieser neuen ZVe über
>
> [mm]\left\{10;20;\ldots\right\}\times\left\{5;10;\ldots\right\}[/mm]
> zu bestimmen, aber das scheint mir sehr mühselig zu sein.
>
Ich glaube auch, dass das schwierig ist. M.E. wird es einfacher, wenn du ausnutzt [mm] $\operatorname{E}[X/Y]=\operatorname{E}[X] \operatorname{E}[1/Y]$, [/mm] da X und Y unabhaengig sind.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:38 Do 16.04.2009 | | Autor: | grenife |
Stimmt, darüber geht es wohl einfacher.
Dann muss ich nur noch $E(1/Y)$ bestimmen, was aber m.E. auch nicht soo simpel ist. Die W'keiten bleiben ja gleich, nur der Erwartungswert ergibt sich dann doch zu
[mm] $E(1/Y)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{5n}(1-p)^{n-1}p$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(1-p)^{n-1}p$
[/mm]
Den Beweis für die Konvergenz der ursprünglichen Summe (Ableitung der Summe und Vertauschen von Summation und Differentiation) wird hier wohl leider nicht klappen, so dass ich bei der Grenzwertbestimmung etwas auf dem Schlauch stehe. Die Konvergenz meine ich jedoch sehen zu können, da die Reihenglieder sämtlich [mm] $\leq \frac{1}{n}$ [/mm] sind.
Soweit richtig, oder habe ich hier einen Denkfehler?
Vielen Dank und viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:21 Do 16.04.2009 | | Autor: | luis52 |
Hallo Gregor,
> Soweit richtig, oder habe ich hier einen Denkfehler?
>
Sieht korrekt aus. Mit Mathematica erhaelt man [mm] $\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(1-p)^{n}=-\ln(1-p)$. [/mm] Das kann man m.E. "zu Fuss" mit der Reihendarstellung des Logarithmus zeigen. Sie mal ![[]](/images/popup.gif) hier, Seite 3.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:49 Fr 17.04.2009 | | Autor: | grenife |
Dann versuche ich es doch mal weiter:
$ [mm] =\frac{1}{5}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(1-p)^{n-1}p [/mm] $
[mm] $=\frac{1}{5}\frac{p}{1-p}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(1-p)^{n}$
[/mm]
[mm] $=\frac{1}{5}\frac{p}{1-p}(-\ln(1-p))$
[/mm]
und das müsste ich jetzt nach $p$ maximieren, was auf den ersten Blick einen ellenlangen Ausdruck ergeben wird...
[mm] $\frac{dy}{dp}=\frac{1}{5}\frac{p}{1-p}\left(-\frac{1}{1-p}\right)+(-\ln(1-p))\left(\frac{1}{1-p}+\frac{-p}{(1-p)^2}\right)$
[/mm]
[mm] $=\frac{-5p}{(1-p)^2}+(-\ln(1-p))\left(\frac{1-2p}{(1-p)^2}\right)$
[/mm]
...frag mich langsam, ob ich nicht doch irgendwo vorher nen Fehler habe.-)
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:09 Fr 17.04.2009 | | Autor: | luis52 |
Moin Gregor,
ich fuerchte, ich habe dich in den Wald geschickt, tut mir Leid. Tatsaechlich ist
$ [mm] \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(1-p)^{n}=-\ln(p) [/mm] $.
vg Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:48 Fr 17.04.2009 | | Autor: | grenife |
Dann wäre
$ [mm] =\frac{1}{5}\frac{p}{1-p}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}(1-p)^{n} [/mm] $
[mm] $=-\frac{1}{5}\frac{p}{1-p}\ln(p)$
[/mm]
und abgeleitet (die -1/5 interessieren ja nicht weiter)
[mm] $\frac{dy}{dp}=\frac{1}{1-p}\ln(p)+p\cdot\left(-(1-p)^{-2}\cdot \ln(p)+(1-p)^{-2}\frac{1}{p}\right)$
[/mm]
sieht aber auch nicht viel besser aus
Viele Grüße
Gregor
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Fr 17.04.2009 | | Autor: | luis52 |
Mathematica erhaelt fuer die Ableitung $y= [mm] -\frac{p}{1-p}\ln(p)$: [/mm]
[mm] $(-1+p-\ln(p))/(1-p)^2$. [/mm] Ich sehe im Moment nicht, ob dies mit deinem
Ergebnis aequivaelent ist. Wie dem auch sei, ich habe den Eindruck, dass
du die Funktion in $(1/e,1-1/e)$ maximieren willst. Hast du schon einmal
daran gedacht, dass die Funktion ein Randmaximum besitzt? Eine Zeichnung
von y dort bestaetigt das ...
vg Luis
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